与えられた数学用語の定義を、集合の記号、全称記号($\forall$)、存在記号($\exists$)などの論理記号を用いて記述します。

1. 問題の内容

与えられた数学用語の定義を、集合の記号、全称記号($\forall$)、存在記号($\exists$)などの論理記号を用いて記述します。

2. 解き方の手順

(1) 写像 $f: X \rightarrow Y$ (XからYへの写像):

　　写像とは、集合Xの各要素に対して、集合Yの要素をただ一つ対応させる規則のことです。

(2) 像 $f(A)$ ($A$は$X$の部分集合):

$f(A) = \{ y \in Y \mid \exists x \in A, y = f(x) \}$

これは、$A$の要素$x$に対する$f(x)$全体の集合を表します。

(3) 逆像 $f^{-1}(B)$ ($B$は$Y$の部分集合):

$f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$

これは、$f(x)$が$B$に属するような$x$全体の集合を表します。

(4) 全射:

　写像 $f: X \rightarrow Y$ が全射であるとは、

$\forall y \in Y, \exists x \in X$ such that $f(x) = y$

つまり、$Y$の任意の要素$y$に対して、$f(x) = y$となるような$X$の要素$x$が存在することです。

(5) 単射:

　写像 $f: X \rightarrow Y$ が単射であるとは、

$\forall x_1, x_2 \in X$, if $f(x_1) = f(x_2)$ then $x_1 = x_2$

あるいは、

$\forall x_1, x_2 \in X$, if $x_1 \ne x_2$ then $f(x_1) \ne f(x_2)$

つまり、$X$の異なる要素は、$Y$の異なる要素に対応することです。

(6) 収束列:

　数列 $\{a_n\}$ が収束列であるとは、

$\exists \alpha \in \mathbb{R}$ such that $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ such that $\forall n > N, |a_n - \alpha| < \epsilon$

つまり、ある実数$\alpha$が存在して、任意の正の数$\epsilon$に対して、$N$より大きな全ての$n$について、$a_n$と$\alpha$の差が$\epsilon$より小さくなるような自然数$N$が存在することです。

3. 最終的な答え

(1) 写像 $f: X \rightarrow Y$ (XからYへの写像):

集合Xの各要素に対して、集合Yの要素をただ一つ対応させる規則

(2) 像 $f(A)$ ($A$は$X$の部分集合):

$f(A) = \{ y \in Y \mid \exists x \in A, y = f(x) \}$

(3) 逆像 $f^{-1}(B)$ ($B$は$Y$の部分集合):

$f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$

(4) 全射:

$\forall y \in Y, \exists x \in X$ such that $f(x) = y$

(5) 単射:

$\forall x_1, x_2 \in X$, if $f(x_1) = f(x_2)$ then $x_1 = x_2$

(6) 収束列:

$\exists \alpha \in \mathbb{R}$ such that $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ such that $\forall n > N, |a_n - \alpha| < \epsilon$