与えられた8つの不定積分を計算する問題です。積分記号は $\int$ で表します。 (1) $\int x^2 x^3 dx$ (2) $\int \frac{x^2}{x^8} dx$ (3) $\int \frac{1}{x^4} dx$ (4) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ (5) $\int x\sqrt{x} dx$ (6) $\int \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} dx$ (7) $\int \frac{1}{(x-3)^2} dx$ (8) $\int \sqrt[4]{x+2} dx$

1. 問題の内容

与えられた8つの不定積分を計算する問題です。積分記号は $\int$ で表します。

(1) $\int x^2 x^3 dx$

(2) $\int \frac{x^2}{x^8} dx$

(3) $\int \frac{1}{x^4} dx$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$

(5) $\int x\sqrt{x} dx$

(6) $\int \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} dx$

(7) $\int \frac{1}{(x-3)^2} dx$

(8) $\int \sqrt[4]{x+2} dx$

2. 解き方の手順

不定積分 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$, $C$は積分定数) を用いて計算します。

(1) $\int x^2 x^3 dx = \int x^5 dx = \frac{x^6}{6} + C$

(2) $\int \frac{x^2}{x^8} dx = \int x^{-6} dx = \frac{x^{-5}}{-5} + C = -\frac{1}{5x^5} + C$

(3) $\int \frac{1}{x^4} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$

(5) $\int x\sqrt{x} dx = \int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$

(6) $\int \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} dx = \int \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x} dx = \int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$

(7) $\int \frac{1}{(x-3)^2} dx = \int (x-3)^{-2} dx = \frac{(x-3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x-3} + C$

(8) $\int \sqrt[4]{x+2} dx = \int (x+2)^{\frac{1}{4}} dx = \frac{(x+2)^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5}(x+2)^{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5}\sqrt[4]{(x+2)^5} + C = \frac{4}{5}(x+2)\sqrt[4]{x+2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^6}{6} + C$

(2) $-\frac{1}{5x^5} + C$

(3) $-\frac{1}{3x^3} + C$

(4) $\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$

(5) $\frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$

(6) $\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$

(7) $-\frac{1}{x-3} + C$

(8) $\frac{4}{5}(x+2)\sqrt[4]{x+2} + C$