$0 < a < b$ を満たす定数 $a, b$ があり、$y = \log x$ のグラフを $G$ とする。曲線 $G$ 上の点 $C$ が点 $A(a, \log a)$ から点 $B(b, \log b)$ まで動くとき、点 $C$ から $x$ 軸への垂線と線分 $AB$ との交点を $P$ とし、線分 $CP$ の長さの最大値を $L$ とする。 (1) 不等式 $a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$ が成り立つことを証明せよ。 (2) $h = \frac{b}{a}$ とおくとき、$L$ を $h$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$0 < a < b$ を満たす定数 $a, b$ があり、$y = \log x$ のグラフを $G$ とする。曲線 $G$ 上の点 $C$ が点 $A(a, \log a)$ から点 $B(b, \log b)$ まで動くとき、点 $C$ から $x$ 軸への垂線と線分 $AB$ との交点を $P$ とし、線分 $CP$ の長さの最大値を $L$ とする。

(1) 不等式 $a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$ が成り立つことを証明せよ。

(2) $h = \frac{b}{a}$ とおくとき、$L$ を $h$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = \log x$ とおくと、平均値の定理より、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ に存在する。

$f'(x) = \frac{1}{x}$ より、

$$\frac{\log b - \log a}{b - a} = \frac{1}{c}$$

したがって、

$$\frac{b - a}{\log b - \log a} = c$$

$a < c < b$ より、

$$a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$$

が成り立つ。

(2)

点 $C$ の $x$ 座標を $t$ ($a \le t \le b$) とすると、$C$ の座標は $(t, \log t)$ である。

点 $A(a, \log a)$ と点 $B(b, \log b)$ を通る直線 $AB$ の方程式は、

$$y - \log a = \frac{\log b - \log a}{b - a} (x - a)$$

$$y = \frac{\log b - \log a}{b - a} (x - a) + \log a$$

$x = t$ における $AB$ 上の点の $y$ 座標を求めると、

$$y = \frac{\log b - \log a}{b - a} (t - a) + \log a$$

したがって、点 $P$ の座標は $\left( t, \frac{\log b - \log a}{b - a} (t - a) + \log a \right)$ である。

線分 $CP$ の長さは、

$$CP = \left| \log t - \left( \frac{\log b - \log a}{b - a} (t - a) + \log a \right) \right|$$

$$CP = \left| \log t - \frac{\log b - \log a}{b - a} t + \frac{a(\log b - \log a)}{b - a} - \log a \right|$$

$$CP = \left| \log t - \frac{\log b - \log a}{b - a} t + \frac{a \log b - b \log a}{b - a} \right|$$

ここで、

$$g(t) = \log t - \frac{\log b - \log a}{b - a} t + \frac{a \log b - b \log a}{b - a}$$

とおく。$CP$ の長さの最大値を求めるため、$g(t)$ の最大値を求める。

$$g'(t) = \frac{1}{t} - \frac{\log b - \log a}{b - a}$$

$g'(t) = 0$ となるのは、

$$\frac{1}{t} = \frac{\log b - \log a}{b - a}$$

$$t = \frac{b - a}{\log b - \log a}$$

(1) より $a < t < b$ なので、$g(t)$ は $t = \frac{b - a}{\log b - \log a}$ で極値をとる。

このとき、

$$g(t) = \log \left( \frac{b - a}{\log b - \log a} \right) - \frac{\log b - \log a}{b - a} \cdot \frac{b - a}{\log b - \log a} + \frac{a \log b - b \log a}{b - a}$$

$$g(t) = \log (b - a) - \log (\log b - \log a) - 1 + \frac{a \log b - b \log a}{b - a}$$

$$g(t) = \log (b - a) - \log (\log \frac{b}{a}) - 1 + \frac{a \log b - b \log a}{b - a}$$

$h = \frac{b}{a}$ より、$b = ah$ なので、

$$g(t) = \log (a(h - 1)) - \log (\log h) - 1 + \frac{a \log (ah) - ah \log a}{a(h - 1)}$$

$$g(t) = \log a + \log (h - 1) - \log (\log h) - 1 + \frac{a (\log a + \log h) - ah \log a}{a(h - 1)}$$

$$g(t) = \log a + \log (h - 1) - \log (\log h) - 1 + \frac{a \log a + a \log h - ah \log a}{a(h - 1)}$$

$$g(t) = \log a + \log (h - 1) - \log (\log h) - 1 + \frac{\log a + \log h - h \log a}{h - 1}$$

$$g(t) = \log a + \log (h - 1) - \log (\log h) - 1 + \frac{\log h - (h - 1) \log a}{h - 1}$$

$$g(t) = \log (h - 1) - \log (\log h) - 1 + \frac{\log h}{h - 1}$$

$\log a$ が消えてくれたので、$L = \left| \log (h - 1) - \log (\log h) - 1 + \frac{\log h}{h - 1} \right|$

3. 最終的な答え

(1) $a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$

(2) $L = \left| \log (h - 1) - \log (\log h) - 1 + \frac{\log h}{h - 1} \right|$