$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x = t^3$ と置換します。すると、$x \to 1$ のとき $t \to 1$ となります。

$\sqrt[3]{x} = t$ であり、$x - 1 = t^3 - 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{t - 1}{t^3 - 1}$

$t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)$ を用いると、

$\lim_{t \to 1} \frac{t - 1}{t^3 - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{t - 1}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} = \lim_{t \to 1} \frac{1}{t^2 + t + 1}$

$t = 1$ を代入すると、

$\lim_{t \to 1} \frac{1}{t^2 + t + 1} = \frac{1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$