与えられた問題は、次の極限を計算することです。 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の極限を計算することです。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

2. 解き方の手順

この極限は、指数関数 $e$ の定義に関連する形をしています。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

与えられた式をこの形に変形するために、次のように変形します。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = \lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{2}{x})^{\frac{x}{2}}]^2$

ここで、$u = \frac{x}{2}$ と置くと、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ となります。よって、

$\lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{2}{x})^{\frac{x}{2}}]^2 = \lim_{u \to \infty} [(1 + \frac{1}{u})^u]^2 = (\lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u)^2$

$\lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u = e$ であるので、

$(\lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u)^2 = e^2$

3. 最終的な答え

したがって、最終的な答えは $e^2$ です。

答え：$e^2$