与えられた三角関数の値を求め、関数の周期を求め、方程式を解く問題です。 (4) (1) $\sin\frac{10}{3}\pi$ を求める。 (2) $\cos(-\frac{4}{3}\pi)$ を求める。 (5) (1) $y = \sin(\theta - \frac{\pi}{2})$ の周期を求める。 (2) $y = \frac{1}{2}\sin\theta$ の周期を求める。 (3) $y = \sin\frac{\theta}{2}$ の周期を求める。 (6) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。 (1) $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ (3) $\tan\theta = -\sqrt{3}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を求め、関数の周期を求め、方程式を解く問題です。

(4) (1) $\sin\frac{10}{3}\pi$ を求める。

(2) $\cos(-\frac{4}{3}\pi)$ を求める。

(5) (1) $y = \sin(\theta - \frac{\pi}{2})$ の周期を求める。

(2) $y = \frac{1}{2}\sin\theta$ の周期を求める。

(3) $y = \sin\frac{\theta}{2}$ の周期を求める。

(6) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。

(1) $\sin\theta = -\frac{1}{2}$

(3) $\tan\theta = -\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(4) (1) $\sin\frac{10}{3}\pi$

$\frac{10}{3}\pi = \frac{6}{3}\pi + \frac{4}{3}\pi = 2\pi + \frac{4}{3}\pi$

$\sin\frac{10}{3}\pi = \sin\frac{4}{3}\pi = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) (2) $\cos(-\frac{4}{3}\pi)$

$\cos(-\frac{4}{3}\pi) = \cos(\frac{4}{3}\pi) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

(5) (1) $y = \sin(\theta - \frac{\pi}{2})$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{2})$ の周期は $2\pi$ です。なぜなら、$\sin(\theta)$ の周期が$2\pi$であり、$\theta$が$\theta - \frac{\pi}{2}$に変わっても、周期は変化しないからです。

(5) (2) $y = \frac{1}{2}\sin\theta$

$\frac{1}{2}\sin\theta$ の周期は $2\pi$ です。なぜなら、$\sin\theta$ の周期が$2\pi$であり、係数$\frac{1}{2}$が掛けられても、周期は変化しないからです。

(5) (3) $y = \sin\frac{\theta}{2}$

$\sin\frac{\theta}{2}$ の周期は $4\pi$ です。

$\sin(ax)$の周期は$\frac{2\pi}{|a|}$なので、$a=\frac{1}{2}$を代入すると$\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$となります。

(6) (1) $\sin\theta = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で$\sin\theta = -\frac{1}{2}$を満たす$\theta$を求める。

$\sin\theta$が負になるのは第3象限と第4象限。

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ より、

$\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7}{6}\pi$

$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11}{6}\pi$

(6) (3) $\tan\theta = -\sqrt{3}$

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で$\tan\theta = -\sqrt{3}$を満たす$\theta$を求める。

$\tan\theta$が負になるのは第2象限と第4象限。

$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ より、

$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi$

$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(4) (1) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) (2) $-\frac{1}{2}$

(5) (1) $2\pi$

(5) (2) $2\pi$

(5) (3) $4\pi$

(6) (1) $\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

(6) (3) $\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$