$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ (3) $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

(3) $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta \cos \theta$ を求める。

与えられた式 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{3}{4}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{4}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{4} - 1 = - \frac{1}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = - \frac{1}{8}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ を求める。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \left( - \frac{1}{8} \right) \right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 + \frac{1}{8} \right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{9}{8}$

$= \frac{9 \sqrt{3}}{16}$

(3) $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ を求める。

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \tan \theta + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$

$\sin \theta \cos \theta = - \frac{1}{8}$ であるから、

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{- \frac{1}{8}} = -8$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = - \frac{1}{8}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{9 \sqrt{3}}{16}$

(3) $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = -8$