与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の6つの積分を計算します。 (1) $\int 3x^4 dx$ (2) $\int \frac{1}{x^2} dx$ (3) $\int \frac{6}{x} dx$ (4) $\int x^5 dx$ (5) $\int (7y^8 - \frac{1}{y^2} + 1) dy$ (6) $\int \frac{2x^3 - 4x + 3}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の6つの積分を計算します。

(1) $\int 3x^4 dx$

(2) $\int \frac{1}{x^2} dx$

(3) $\int \frac{6}{x} dx$

(4) $\int x^5 dx$

(5) $\int (7y^8 - \frac{1}{y^2} + 1) dy$

(6) $\int \frac{2x^3 - 4x + 3}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 3x^4 dx$

定数倍の積分と、べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を利用します。

$\int 3x^4 dx = 3 \int x^4 dx = 3 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = 3 \cdot \frac{x^5}{5} + C = \frac{3}{5}x^5 + C$

(2) $\int \frac{1}{x^2} dx$

$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ と変形し、べき関数の積分公式を利用します。

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

(3) $\int \frac{6}{x} dx$

定数倍の積分と、$\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$ を利用します。

$\int \frac{6}{x} dx = 6 \int \frac{1}{x} dx = 6 \log |x| + C$

(4) $\int x^5 dx$

べき関数の積分公式を利用します。

$\int x^5 dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$

(5) $\int (7y^8 - \frac{1}{y^2} + 1) dy$

各項を分けて積分し、べき関数の積分公式を利用します。

$\int (7y^8 - \frac{1}{y^2} + 1) dy = \int 7y^8 dy - \int y^{-2} dy + \int 1 dy = 7 \cdot \frac{y^9}{9} - \frac{y^{-1}}{-1} + y + C = \frac{7}{9}y^9 + \frac{1}{y} + y + C$

(6) $\int \frac{2x^3 - 4x + 3}{x} dx$

被積分関数を各項に分けます。

$\frac{2x^3 - 4x + 3}{x} = \frac{2x^3}{x} - \frac{4x}{x} + \frac{3}{x} = 2x^2 - 4 + \frac{3}{x}$

したがって、

$\int \frac{2x^3 - 4x + 3}{x} dx = \int (2x^2 - 4 + \frac{3}{x}) dx = 2 \int x^2 dx - 4 \int dx + 3 \int \frac{1}{x} dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} - 4x + 3 \log |x| + C = \frac{2}{3}x^3 - 4x + 3 \log |x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{5}x^5 + C$

(2) $-\frac{1}{x} + C$

(3) $6 \log |x| + C$

(4) $\frac{1}{6}x^6 + C$

(5) $\frac{7}{9}y^9 + \frac{1}{y} + y + C$

(6) $\frac{2}{3}x^3 - 4x + 3 \log |x| + C$