問題は以下の2つの部分から構成されています。 (1) $0 < a < b$ を満たす定数 $a, b$ が与えられたとき、不等式 $a < \frac{b-a}{\log b - \log a} < b$ を証明すること。 (2) $h = \frac{b}{a}$ とおいたとき、線分CPの長さの最大値 $L$ を $h$ を用いて表すこと。ただし、点Cは $y = \log x$ のグラフ上を点A$(a, \log a)$ から点B$(b, \log b)$ まで動き、点Cからx軸への垂線と線分ABとの交点をPとする。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの部分から構成されています。

(1) $0 < a < b$ を満たす定数 $a, b$ が与えられたとき、不等式 $a < \frac{b-a}{\log b - \log a} < b$ を証明すること。

(2) $h = \frac{b}{a}$ とおいたとき、線分CPの長さの最大値 $L$ を $h$ を用いて表すこと。ただし、点Cは $y = \log x$ のグラフ上を点A$(a, \log a)$ から点B$(b, \log b)$ まで動き、点Cからx軸への垂線と線分ABとの交点をPとする。

2. 解き方の手順

(1) 不等式の証明

平均値の定理を利用します。

関数 $f(x) = \log x$ を区間 $[a, b]$ で考えると、平均値の定理より、

$\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$ を満たす $c$ が $a < c < b$ に存在する。

$f(x) = \log x$ より、$f'(x) = \frac{1}{x}$ であるから、

$\frac{\log b - \log a}{b-a} = \frac{1}{c}$

$\frac{b-a}{\log b - \log a} = c$

$a < c < b$ であるから、$a < \frac{b-a}{\log b - \log a} < b$ が成り立つ。

(2) Lをhで表す

点A$(a, \log a)$、点B$(b, \log b)$ を通る直線の方程式を求める。

直線の傾きは $\frac{\log b - \log a}{b-a}$ なので、直線の方程式は

$y - \log a = \frac{\log b - \log a}{b-a} (x - a)$

$y = \frac{\log b - \log a}{b-a} (x - a) + \log a$

点Cの座標を $(x, \log x)$ とすると、点Pのy座標は

$y = \frac{\log b - \log a}{b-a} (x - a) + \log a$

となる。

線分CPの長さは

$CP = \left| \log x - \left\{ \frac{\log b - \log a}{b-a} (x - a) + \log a \right\} \right|$

ここで、$g(x) = \log x - \frac{\log b - \log a}{b-a} (x - a) - \log a$ とおくと、

$L = \max |g(x)|$ ($a \le x \le b$)

$g'(x) = \frac{1}{x} - \frac{\log b - \log a}{b-a}$

$g'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \frac{b-a}{\log b - \log a}$

(1)より、$a < \frac{b-a}{\log b - \log a} < b$ なので、このxの値は区間$[a,b]$に含まれます。

この$x$の値を $x_0$ とおくと、$g(x)$ は $x = x_0$ で最大値をとる。

$L = g(x_0) = \log x_0 - \frac{\log b - \log a}{b-a} (x_0 - a) - \log a$

$h = \frac{b}{a}$ より、$b = ah$。

$x_0 = \frac{b-a}{\log b - \log a} = \frac{ah - a}{\log(ah) - \log a} = \frac{a(h-1)}{\log a + \log h - \log a} = \frac{a(h-1)}{\log h}$

$L = \log(\frac{a(h-1)}{\log h}) - \frac{\log(ah) - \log a}{ah-a}(\frac{a(h-1)}{\log h} - a) - \log a$

$= \log a + \log(\frac{h-1}{\log h}) - \frac{\log h}{a(h-1)} \cdot a (\frac{h-1}{\log h} - 1) - \log a$

$= \log(\frac{h-1}{\log h}) - \frac{\log h}{h-1} (\frac{h-1}{\log h} - 1)$

$= \log(h-1) - \log(\log h) - (1 - \frac{\log h}{h-1})$

$= \log(h-1) - \log(\log h) - 1 + \frac{\log h}{h-1}$

$L = \log(\frac{h-1}{\log h}) - 1 + \frac{\log h}{h-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a < \frac{b-a}{\log b - \log a} < b$

(2) $L = \log(\frac{h-1}{\log h}) - 1 + \frac{\log h}{h-1}$