関数 $y = \log x$ 上の点A $(a, \log a)$ から点B $(b, \log b)$ まで動くとき、曲線上の点Cからx軸への垂線の足をPとし、線分CPの長さの最大値をLとする。以下の2つの問題に答えます。 (1) $\frac{b-a}{\log b - \log a} < b$ が成り立つことを証明せよ。 (2) $b - a = h$ とおくとき、Lをhを用いて表せ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log x$ 上の点A $(a, \log a)$ から点B $(b, \log b)$ まで動くとき、曲線上の点Cからx軸への垂線の足をPとし、線分CPの長さの最大値をLとする。以下の2つの問題に答えます。

(1) $\frac{b-a}{\log b - \log a} < b$ が成り立つことを証明せよ。

(2) $b - a = h$ とおくとき、Lをhを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{b-a}{\log b - \log a} < b$ の証明

関数 $f(x) = \log x$ は $x > 0$ で微分可能であり、$f'(x) = \frac{1}{x}$ である。

区間 $[a, b]$ で平均値の定理を用いると、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在する。

つまり、

$\frac{\log b - \log a}{b - a} = \frac{1}{c}$

が成り立つ。よって、

$c = \frac{b - a}{\log b - \log a}$

$a < c < b$ より、

$a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$

したがって、$\frac{b-a}{\log b - \log a} < b$ が成り立つ。

(2) Lをhを用いて表す

線分CPの長さは $y = \log x$ の絶対値に等しい。よって、CPの長さが最大となるのは、$y = \log x$ の導関数が0となる点、または区間の端点である。

$y = \log x$ の導関数は $y' = \frac{1}{x}$ であり、これは常に正であるため、$y = \log x$ は単調増加関数である。

$b - a = h$ であるから、$b = a + h$ となる。

Lは線分CPの長さの最大値であるため、$L = \max(|\log a|, |\log (a+h)|)$ となる。

$a$と$a+h$は正の値である必要がある。

Lを求めるためには、$\log x$のグラフの形状と区間$[a, a+h]$を考慮する必要がある。特に、$\log x$ が負の値を取る場合と正の値を取る場合で場合分けが必要となる。

$L = \max(|\log a|, |\log(a+h)|)$

例えば、logの底がeである(自然対数)と仮定すると、$a$が小さいときには$|\log a| > |\log(a+h)|$となるが、$a$が大きいときには$|\log a| < |\log(a+h)|$となる。

ただし、問題文のログの底が何であるか不明であるため、厳密なLの値をhを用いて表すことはできません。

Lは区間の両端の点のlogの絶対値の最大値である、という表現に留めておきます。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{b-a}{\log b - \log a} < b$ が成り立つ。

(2) $L = \max(|\log a|, |\log(a+h)|)$