与えられた2階線形非同次微分方程式を解きます。 微分方程式は以下の通りです。 $\frac{d^2x}{dt^2} - 2x = 2t$

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式を解きます。

微分方程式は以下の通りです。

$\frac{d^2x}{dt^2} - 2x = 2t$

2. 解き方の手順

(1) 同次方程式を解く

まず、同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} - 2x = 0$ を解きます。特性方程式は、$r^2 - 2 = 0$ となり、$r = \pm \sqrt{2}$ を得ます。したがって、同次方程式の一般解は、

$x_h(t) = c_1 e^{\sqrt{2}t} + c_2 e^{-\sqrt{2}t}$

となります。ここで、$c_1$と$c_2$は任意定数です。

(2) 特殊解を求める

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。右辺が $2t$ であるため、特殊解を $x_p(t) = At + B$ の形と仮定します。ここで、$A$と$B$は定数です。この仮定を元の微分方程式に代入します。

$\frac{d^2x_p}{dt^2} - 2x_p = 2t$

$\frac{d}{dt}(At+B) = A$

$\frac{d^2}{dt^2}(At+B) = 0$

したがって、

$0 - 2(At + B) = 2t$

$-2At - 2B = 2t$

係数を比較して、次の連立方程式を得ます。

$-2A = 2$

$-2B = 0$

これから、$A = -1$ と $B = 0$ が得られます。したがって、特殊解は

$x_p(t) = -t$

となります。

(3) 一般解を求める

微分方程式の一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和として与えられます。

$x(t) = x_h(t) + x_p(t)$

$x(t) = c_1 e^{\sqrt{2}t} + c_2 e^{-\sqrt{2}t} - t$

3. 最終的な答え

微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} - 2x = 2t$ の一般解は、

$x(t) = c_1 e^{\sqrt{2}t} + c_2 e^{-\sqrt{2}t} - t$

です。ここで、$c_1$と$c_2$は任意定数です。