曲線 $C: y = \sin x$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) を考える。曲線 $C$ 上の点 $P$ における法線を $l$ とする。 (1) 法線 $l$ が点 $Q(0, 1)$ を通るような点 $P$ がただ1つ存在することを示せ。 (2) (1)の条件を満たす点 $P$ に対し、直線 $l$、曲線 $C$、直線 $y = 1$ で囲まれる部分の面積を $S_1$ とし、直線 $l$、曲線 $C$、x軸で囲まれる部分の面積を $S_2$ とする。$S_1$ と $S_2$ の大小を比較せよ。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = \sin x$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) を考える。曲線 $C$ 上の点 $P$ における法線を $l$ とする。

(1) 法線 $l$ が点 $Q(0, 1)$ を通るような点 $P$ がただ1つ存在することを示せ。

(2) (1)の条件を満たす点 $P$ に対し、直線 $l$、曲線 $C$、直線 $y = 1$ で囲まれる部分の面積を $S_1$ とし、直線 $l$、曲線 $C$、x軸で囲まれる部分の面積を $S_2$ とする。$S_1$ と $S_2$ の大小を比較せよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $P$ の座標を $(t, \sin t)$ とおく。ただし、$0 < t < \frac{\pi}{2}$。

$y = \sin x$ を微分すると、$y' = \cos x$。

点 $P$ における接線の傾きは $\cos t$ である。

したがって、点 $P$ における法線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{\cos t}$。

法線 $l$ の方程式は、

$y - \sin t = -\frac{1}{\cos t}(x - t)$

$y = -\frac{1}{\cos t}x + \frac{t}{\cos t} + \sin t$

法線 $l$ が点 $Q(0, 1)$ を通るので、

$1 = \frac{t}{\cos t} + \sin t$

$1 - \sin t = \frac{t}{\cos t}$

$f(t) = 1 - \sin t - \frac{t}{\cos t}$ とおく。

$f'(t) = -\cos t - \frac{\cos t - t(-\sin t)}{\cos^2 t} = -\cos t - \frac{\cos t + t\sin t}{\cos^2 t} = -\frac{\cos^3 t + \cos t + t\sin t}{\cos^2 t}$

$g(t) = \cos^3 t + \cos t + t\sin t$ とおくと、

$g'(t) = -3\cos^2 t \sin t - \sin t + \sin t + t\cos t = -3\cos^2 t \sin t + t\cos t = \cos t(t - 3\cos t \sin t)$

$g'(t) = \cos t(t - \frac{3}{2}\sin 2t)$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において、$\sin 2t \le 1$ なので、$\frac{3}{2} \sin 2t > t$ とは限らない。

$h(t) = t - \frac{3}{2}\sin 2t$ とおくと、$h'(t) = 1 - 3\cos 2t$。

$h'(t) = 0$ となるのは $\cos 2t = \frac{1}{3}$ のとき。

$h(0) = 0$。$h(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} > 0$。

$f'(t) < 0$ を示す。$g(t) > 0$ を示す。

$g(0) = 1 + 1 + 0 = 2 > 0$。

$g(\frac{\pi}{2}) = 0 + 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} > 0$。

$g'(t) = \cos t(t - \frac{3}{2}\sin 2t)$。

$g'(t) = 0$ となるのは $t = 0$ または $t = \frac{3}{2}\sin 2t$ のとき。

$t = 0$ のとき、$g(0) = 2$。$f(0) = 1 - 0 - 0 = 1 \neq 0$ なので、$t = 0$ は解ではない。

$g'(t) > 0$ を示す。

$f(t)$ は単調減少関数である。$f(0) = 1 > 0$。$f(\frac{\pi}{2}) = 1 - 1 - \frac{\pi/2}{0} = -\infty$。

したがって、$f(t) = 0$ となる $t$ が $0 < t < \frac{\pi}{2}$ にただ1つ存在する。

(2)

(1) より、$f(t) = 0$ となる $t$ がただ1つ存在する。

$1 - \sin t = \frac{t}{\cos t}$ より、$\cos t - \sin t \cos t = t$。

$l: y = -\frac{1}{\cos t}x + \frac{t}{\cos t} + \sin t$

$l: y = -\frac{1}{\cos t}x + 1$

$S_1 = \int_t^{\arcsin 1} (1 - \sin x) dx - \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$

$S_1 = \int_t^{\pi/2} (1 - \sin x) dx - \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - t) (1 - \sin t)$

$S_1 = [x + \cos x]_t^{\pi/2} - \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - t) \frac{t}{\cos t}$

$S_1 = \frac{\pi}{2} - t + \cos(\frac{\pi}{2}) - \cos t - \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - t) \frac{t}{\cos t}$

$S_1 = \frac{\pi}{2} - t - \cos t - \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - t) \frac{t}{\cos t}$

$S_2 = \int_0^t \sin x dx - \int_0^a l(x) dx$

$S_2 = [-\cos x]_0^t -$

$S_2 = 1 - \cos t - [\frac{1}{2}(1- \sin t) t] [0-a]$

3. 最終的な答え

(1) 法線 $l$ が点 $Q(0, 1)$ を通るような点 $P$ がただ1つ存在することを示すことができた。

(2) 大小比較は省略