SENSEI AI
About App

関数 $y = x \sin^{-1} x$ を微分する。

解析学微分逆三角関数積の微分
2025/5/30

1. 問題の内容

関数 y=xsin⁡−1xy = x \sin^{-1} x を微分する。

2. 解き方の手順

積の微分公式 ddx(uv)=u′v+uv′\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv' を使用する。
ここで、u=xu = x、v=sin⁡−1xv = \sin^{-1} x とおく。
u′=ddx(x)=1u' = \frac{d}{dx}(x) = 1
v′=ddx(sin⁡−1x)=11−x2v' = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
したがって、
dydx=ddx(xsin⁡−1x)=(1)(sin⁡−1x)+(x)(11−x2)\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \sin^{-1} x) = (1)(\sin^{-1} x) + (x)\left(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)
dydx=sin⁡−1x+x1−x2\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

3. 最終的な答え

dydx=sin⁡−1x+x1−x2\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

「解析学」の関連問題

関数 $y = \frac{6 - 3^x}{4x - 8}$ のグラフの漸近線をすべて求めます。

関数の極限漸近線指数関数
2025/6/1

関数 $f(z) = \frac{1}{z-a}$ (ただし $z = x + iy$）の微分係数を求め、特に $z_0$ における微分係数を求めます。ここで $a = a + ib$ （$a, b$...

複素関数微分微分係数複素数
2025/6/1

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x + \cos 3x) dx$ を計算します。

定積分三角関数積分
2025/6/1

次の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ (3...

極限三角関数逆三角関数挟み撃ちの原理
2025/6/1

問題は、数列 $\{ \frac{a^n}{n!} \}$ の性質について問うていると思われます ($a > 0$)。特に、この数列の極限を求める問題であると推測されます。

数列極限比の極限収束
2025/6/1

与えられた関数 $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ を微分せよ。

微分合成関数逆三角関数
2025/6/1

(1) $\cos^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$ を満たす $x$ を求めよ。 (2) $\sin^{-1}\frac{3}{5} = \tan^{-1}x$ を満たす $x$...

逆三角関数三角関数方程式
2025/6/1

$\lim_{x \to \infty} \arctan^{-1} x$を計算する問題です。

極限逆三角関数arctan
2025/6/1

$\lim_{x \to \infty} \arctan^{-1} x$ を計算する問題です。

極限逆三角関数arctan関数の極限
2025/6/1

以下の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} (e^{\frac{t}{2}} + e^{-\frac{t}{2}}) dt$

定積分指数関数積分計算
2025/6/1