以下の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} (e^{\frac{t}{2}} + e^{-\frac{t}{2}}) dt$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e^{\frac{t}{2}} + e^{-\frac{t}{2}}) dt$

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int_{0}^{1} e^{\frac{t}{2}} dt + \int_{0}^{1} e^{-\frac{t}{2}} dt$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int e^{\frac{t}{2}} dt = 2e^{\frac{t}{2}} + C$

$\int e^{-\frac{t}{2}} dt = -2e^{-\frac{t}{2}} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} (e^{\frac{t}{2}} + e^{-\frac{t}{2}}) dt = [2e^{\frac{t}{2}} - 2e^{-\frac{t}{2}}]_{0}^{1}$

$= (2e^{\frac{1}{2}} - 2e^{-\frac{1}{2}}) - (2e^{0} - 2e^{0})$

$= 2e^{\frac{1}{2}} - 2e^{-\frac{1}{2}} - (2 - 2)$

$= 2e^{\frac{1}{2}} - 2e^{-\frac{1}{2}}$

$= 2(\sqrt{e} - \frac{1}{\sqrt{e}})$

$= 2(\sqrt{e} - \frac{\sqrt{e}}{e})$

$= 2\sqrt{e}(1 - \frac{1}{e})$

3. 最終的な答え

$2(\sqrt{e} - \frac{1}{\sqrt{e}})$