関数 $f(x) = \left(\log \frac{x}{\sqrt{e}}\right) \left(\log \frac{x^2}{e^4}\right)$ について、以下の問いに答える。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (3) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \left(\log \frac{x}{\sqrt{e}}\right) \left(\log \frac{x^2}{e^4}\right)$ について、以下の問いに答える。

(1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

(2) 関数 $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(3) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を簡単にする。

$f(x) = \left(\log x - \log \sqrt{e}\right) \left(\log x^2 - \log e^4\right) = \left(\log x - \frac{1}{2}\right) \left(2\log x - 4\right)$

$f(x) = 2(\log x)^2 - 4\log x - \log x + 2 = 2(\log x)^2 - 5\log x + 2$

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 2(2\log x) \frac{1}{x} - 5\frac{1}{x} = \frac{1}{x}(4\log x - 5)$

よって、$f'(x) = \frac{1}{x} (4\log x - 5)$

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}(4\log x - 5) + \frac{1}{x}(4\frac{1}{x}) = -\frac{4\log x - 5}{x^2} + \frac{4}{x^2} = \frac{-4\log x + 5 + 4}{x^2} = \frac{-4\log x + 9}{x^2}$

よって、$f''(x) = \frac{1}{x^2}(-4\log x + 9)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$4\log x - 5 = 0$

$\log x = \frac{5}{4}$

$x = e^{5/4}$

$f''(e^{5/4}) = \frac{1}{(e^{5/4})^2} \left(-4\log e^{5/4} + 9\right) = \frac{1}{e^{5/2}} (-4\cdot \frac{5}{4} + 9) = \frac{1}{e^{5/2}}(-5+9) = \frac{4}{e^{5/2}} > 0$

よって、$x = e^{5/4}$ で極小値をとる。

$f(e^{5/4}) = 2(\log e^{5/4})^2 - 5\log e^{5/4} + 2 = 2(\frac{5}{4})^2 - 5\cdot \frac{5}{4} + 2 = 2\cdot \frac{25}{16} - \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{16}{8} = \frac{-9}{8}$

(3) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-4\log x + 9 = 0$

$4\log x = 9$

$\log x = \frac{9}{4}$

$x = e^{9/4}$

$f(e^{9/4}) = 2(\log e^{9/4})^2 - 5\log e^{9/4} + 2 = 2(\frac{9}{4})^2 - 5\cdot \frac{9}{4} + 2 = 2\cdot \frac{81}{16} - \frac{45}{4} + 2 = \frac{81}{8} - \frac{90}{8} + \frac{16}{8} = \frac{7}{8}$

変曲点は $(e^{9/4}, \frac{7}{8})$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{x} (4\log x - 5)$ , $f''(x) = \frac{1}{x^2}(-4\log x + 9)$

(2) $x = e^{5/4}$ で最小値 $-\frac{9}{8}$ をとる。

(3) 変曲点は $(e^{9/4}, \frac{7}{8})$