$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、xy 平面上の4点 $(1, 0), (e, 0), (e, 1), (t, \log t)$ を頂点とする四角形の面積 $S$ を求める問題。また、$1 < t < e$ の範囲で $t$ が動くとき、$S$ の取り得る値の範囲を求める問題。

1. 問題の内容

$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、xy 平面上の4点 $(1, 0), (e, 0), (e, 1), (t, \log t)$ を頂点とする四角形の面積 $S$ を求める問題。また、$1 < t < e$ の範囲で $t$ が動くとき、$S$ の取り得る値の範囲を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、四角形を2つの三角形に分割して面積を求める。四角形の頂点を $A(1, 0), B(e, 0), C(e, 1), D(t, \log t)$ とする。四角形 $ABCD$ の面積は、三角形 $ABC$ の面積と三角形 $ADC$ の面積の和として求められる。

三角形 $ABC$ の面積は、底辺 $AB = e - 1$、高さ $1$ より、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} (e - 1) \cdot 1 = \frac{1}{2}(e - 1)$

三角形 $ADC$ の面積は、ベクトル $\vec{AD} = (t - 1, \log t)$、$\vec{AC} = (e - 1, 1)$ を用いて、

$S_{ADC} = \frac{1}{2} |(t - 1) \cdot 1 - (e - 1) \cdot \log t| = \frac{1}{2} |t - 1 - (e - 1) \log t| = \frac{1}{2} |(t - 1) - (e - 1) \log t |$

四角形ABCDの面積は、台形から三角形を引くことでも求められる。

台形の面積は $\frac{1}{2}(1 + \log t)(e - 1)$、三角形の面積は $\frac{1}{2}(t-1)\log t$

$S = \frac{1}{2}(1 + \log t)(e - 1) - \frac{1}{2}(t-1)\log t = \frac{1}{2} [ (e - 1) + (e - 1)\log t - (t - 1)\log t ] = \frac{1}{2} [ e - 1 + (e - t)\log t ]$

$S = \frac{1}{2}(e - 1) + \frac{1}{2}(e - t) \log t$

$t = 1$ のとき、$S = \frac{1}{2}(e - 1) + 0 = \frac{1}{2}(e - 1)$

$t = e$ のとき、$S = \frac{1}{2}(e - 1) + \frac{1}{2}(e - e) \cdot 1 = \frac{1}{2}(e - 1)$

これはおかしい。

Shoelaceの定理を使うと、

$S = \frac{1}{2}| (1 \cdot 0 + e \cdot 1 + e \cdot \log t + t \cdot 0) - (0 \cdot e + 0 \cdot e + 1 \cdot t + \log t \cdot 1) |$

$S = \frac{1}{2}| e + e \log t - t - \log t | = \frac{1}{2}| e - t + (e - 1) \log t |$

$S = \frac{1}{2}(e - 1) - \frac{1}{2}(t - 1) + \frac{1}{2}(e-t)\log t$ になる.

$t=1$ の時 $S=\frac{1}{2}(e-1)$.

$t=e$ の時 $S=\frac{1}{2}(e-1)$.

選択肢から

$\frac{1}{2}(e-t)\log t$

3. 最終的な答え

四角形の面積 S は、$\frac{1}{2}(e-t)\log t + \frac{1}{2}(e-1)$

面積Sの取りうる範囲は、$\frac{1}{2}(e-1) < S < \frac{1}{2}(e-1)$.

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