$r > 1$を満たす実数$r$に対して、無限級数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{r^n}$が収束することを示す問題に対するAさんの考え方が示されています。Aさんの考え方には3つの下線部があり、その中に正しくないものが1つあります。その番号を答えることが問題です。

1. 問題の内容

$r > 1$を満たす実数$r$に対して、無限級数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{r^n}$が収束することを示す問題に対するAさんの考え方が示されています。Aさんの考え方には3つの下線部があり、その中に正しくないものが1つあります。その番号を答えることが問題です。

2. 解き方の手順

まず、Aさんの考え方を見ていきましょう。

① $r = 1 + h$とおき、二項定理を用いると、$r^n > \frac{n(n-1)}{2} h^2$ ($n \geq 2$)が示される。

$r = 1 + h$とすると、$h = r - 1 > 0$となります。二項定理より、

$r^n = (1+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} h^k = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}h + \binom{n}{2}h^2 + ... + \binom{n}{n}h^n$

$r^n > \binom{n}{2} h^2 = \frac{n(n-1)}{2} h^2$

よって、①は正しいです。

② $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{r^n} = 0$となる。

$\frac{n}{r^n} < \frac{n}{\frac{n(n-1)}{2} h^2} = \frac{2}{(n-1)h^2}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{2}{(n-1)h^2} = 0$であるから、$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{r^n} = 0$となります。

よって、②は正しいです。

③ $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$のとき、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$は収束するから、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{r^n}$は収束する。

$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$は、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$が収束するための必要条件ではありますが、十分条件ではありません。

例えば、$a_n = \frac{1}{n}$の場合、$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ですが、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$は発散します。（調和級数）

よって、③は正しくありません。

3. 最終的な答え

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