実数 $a$ を定数として、方程式 $ae^x - 2x = 0$ の異なる実数解の個数を調べる。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ であることは既知としてよい。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数として、方程式 $ae^x - 2x = 0$ の異なる実数解の個数を調べる。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ であることは既知としてよい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形する。

$ae^x - 2x = 0$

$ae^x = 2x$

$a = \frac{2x}{e^x}$ (ただし、$a \neq 0$)

ここで、関数 $f(x) = \frac{2x}{e^x}$ を定義し、そのグラフを考える。$f(x)$ の導関数を求める。

$f'(x) = \frac{2e^x - 2xe^x}{(e^x)^2} = \frac{2e^x(1-x)}{e^{2x}} = \frac{2(1-x)}{e^x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、 $1 - x = 0$ より $x = 1$ となる。

$f'(x)$ の符号を調べると、

- $x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加する。

- $x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少する。

したがって、$f(x)$ は $x = 1$ で極大値をとる。その極大値は、

$f(1) = \frac{2(1)}{e^1} = \frac{2}{e}$

また、$x \to -\infty$ のとき、$f(x) = \frac{2x}{e^x} \to 0$ であり、$x \to \infty$ のとき、$f(x) = \frac{2x}{e^x} \to 0$ である。

以上より、$y = f(x)$ のグラフの概形を描くことができる。$y = a$ のグラフと $y = f(x)$ のグラフの交点の個数が、方程式 $ae^x - 2x = 0$ の実数解の個数となる。

- $a < 0$ のとき、交点は存在しないので、実数解は0個。

- $a = 0$ のとき、$x=0$ が解になるので、実数解は1個。

- $0 < a < \frac{2}{e}$ のとき、交点は2個存在するので、実数解は2個。

- $a = \frac{2}{e}$ のとき、交点は1個存在するので、実数解は1個。

- $a > \frac{2}{e}$ のとき、交点は存在しないので、実数解は0個。

3. 最終的な答え

- $a < 0$ のとき、実数解は0個。

- $a = 0$ のとき、実数解は1個。

- $0 < a < \frac{2}{e}$ のとき、実数解は2個。

- $a = \frac{2}{e}$ のとき、実数解は1個。

- $a > \frac{2}{e}$ のとき、実数解は0個。