関数 $y = -\frac{x^2-7}{x-4}$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点、漸近線を調べ、グラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{x^2-7}{x-4}$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点、漸近線を調べ、グラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 定義域：$x \neq 4$

(2) 導関数：

まず、$y$ を微分して、$y'$ を求める。

$y' = -\frac{(2x)(x-4)-(x^2-7)(1)}{(x-4)^2} = -\frac{2x^2-8x-x^2+7}{(x-4)^2} = -\frac{x^2-8x+7}{(x-4)^2} = -\frac{(x-1)(x-7)}{(x-4)^2}$

$y'=0$ となる $x$ は $x=1, 7$

次に、$y''$ を求める。

$y'' = -\frac{(2x-8)(x-4)^2 - (x^2-8x+7)(2(x-4))}{(x-4)^4} = -\frac{(2x-8)(x-4) - 2(x^2-8x+7)}{(x-4)^3} = -\frac{2x^2-16x+32 - 2x^2+16x-14}{(x-4)^3} = -\frac{18}{(x-4)^3}$

(3) 増減表：

| x | ... | 1 | ... | 4 | ... | 7 | ... |

| :---- | :-- | :---- | :-- | :---- | :-- | :---- | :-- |

| y' | - | 0 | + | | + | 0 | - |

| y'' | + | + | + | | - | - | - |

| y | ↘ | -2 | ↗ | | ↗ | -16 | ↘ |

$x=1$ のとき、$y = -\frac{1-7}{1-4} = -\frac{-6}{-3} = -2$

$x=7$ のとき、$y = -\frac{49-7}{7-4} = -\frac{42}{3} = -14$

(4) 極値：

$x=1$ で極小値 $-2$

$x=7$ で極大値 $-14$

(5) 凹凸：

$y'' = -\frac{18}{(x-4)^3}$

$x>4$ で $y''<0$ (上に凸)

$x<4$ で $y''>0$ (下に凸)

変曲点はない

(6) 漸近線：

$x=4$ で垂直漸近線

$y = -\frac{x^2-7}{x-4} = -\frac{x^2-4x+4x-16+9}{x-4} = -\frac{x(x-4)+4(x-4)+9}{x-4} = -x-4-\frac{9}{x-4}$

よって、$y=-x-4$ は漸近線である。

3. 最終的な答え

グラフは省略します。

定義域：$x \neq 4$

極小値：$x=1$ で $-2$

極大値：$x=7$ で $-14$

変曲点：なし

漸近線：$x=4$, $y=-x-4$

グラフの凹凸：

$x>4$ で上に凸

$x<4$ で下に凸