(1) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ を求めよ。 (2) $\lim_{x \to 2+0} [x]$ を求めよ。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ を求めよ。

(2) $\lim_{x \to 2+0} [x]$ を求めよ。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 3-0$ は、$x$ が $3$ より小さい値から $3$ に近づくことを意味します。したがって、$x < 3$ であり、$x - 3 < 0$ となります。

絶対値の定義より $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ となります。

したがって、

\begin{align*}

\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|} &= \lim_{x \to 3-0} \frac{(x - 3)(x + 3)}{-(x - 3)} \\

&= \lim_{x \to 3-0} -(x + 3) \\

&= -(3 + 3) \\

&= -6

\end{align*}

(2)

$x \to 2+0$ は、$x$ が $2$ より大きい値から $2$ に近づくことを意味します。したがって、$x > 2$ です。

$x$ が $2$ より少し大きい場合、$2 < x < 3$ となるので、$x$ を超えない最大の整数 $[x]$ は $2$ となります。

したがって、

\begin{align*}

\lim_{x \to 2+0} [x] = 2

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) -6

(2) 2