関数 $f(x) = \left(\log \frac{x}{\sqrt{e}}\right) \left(\log \frac{x^2}{e^4}\right)$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。 (2) 関数 $f(x)$ が最小値をとる $x$ の値を求める。 (3) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \left(\log \frac{x}{\sqrt{e}}\right) \left(\log \frac{x^2}{e^4}\right)$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

(2) 関数 $f(x)$ が最小値をとる $x$ の値を求める。

(3) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を簡単にする。

$\log \frac{x}{\sqrt{e}} = \log x - \log \sqrt{e} = \log x - \frac{1}{2}$

$\log \frac{x^2}{e^4} = \log x^2 - \log e^4 = 2\log x - 4$

よって、

$f(x) = (\log x - \frac{1}{2})(2\log x - 4) = 2(\log x)^2 - 5 \log x + 2$

次に、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{d}{dx} [2(\log x)^2 - 5 \log x + 2] = 4(\log x)\frac{1}{x} - \frac{5}{x} = \frac{1}{x}(4\log x - 5)$

次に、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = \frac{d}{dx} \left[\frac{1}{x}(4\log x - 5)\right] = -\frac{1}{x^2}(4\log x - 5) + \frac{1}{x} \cdot \frac{4}{x} = \frac{1}{x^2}(-4\log x + 5 + 4) = \frac{1}{x^2}(-4\log x + 9)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{1}{x}(4\log x - 5) = 0$ より、$4\log x - 5 = 0$

$\log x = \frac{5}{4}$

$x = e^{\frac{5}{4}}$

次に、$f''(e^{\frac{5}{4}})$ を求める。

$f''(e^{\frac{5}{4}}) = \frac{1}{(e^{\frac{5}{4}})^2} (-4 \log e^{\frac{5}{4}} + 9) = \frac{1}{e^{\frac{5}{2}}} (-4 \cdot \frac{5}{4} + 9) = \frac{1}{e^{\frac{5}{2}}} (-5 + 9) = \frac{4}{e^{\frac{5}{2}}} > 0$

したがって、$x = e^{\frac{5}{4}}$ で最小値をとる。

$f(e^{\frac{5}{4}}) = 2(\log e^{\frac{5}{4}})^2 - 5 \log e^{\frac{5}{4}} + 2 = 2 (\frac{5}{4})^2 - 5 \cdot \frac{5}{4} + 2 = 2 \cdot \frac{25}{16} - \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{16}{8} = \frac{-9}{8}$

(3) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{1}{x^2}(-4\log x + 9) = 0$ より、$-4\log x + 9 = 0$

$\log x = \frac{9}{4}$

$x = e^{\frac{9}{4}}$

次に、$x = e^{\frac{9}{4}}$ のときの $y$ の値を求める。

$f(e^{\frac{9}{4}}) = 2(\log e^{\frac{9}{4}})^2 - 5 \log e^{\frac{9}{4}} + 2 = 2 (\frac{9}{4})^2 - 5 \cdot \frac{9}{4} + 2 = 2 \cdot \frac{81}{16} - \frac{45}{4} + 2 = \frac{81}{8} - \frac{90}{8} + \frac{16}{8} = \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{x}(4\log x - 5)$

$f''(x) = \frac{1}{x^2}(-4\log x + 9)$

(2) $x = e^{\frac{5}{4}}$ で最小値 $-\frac{9}{8}$ をとる。

(3) 変曲点は $(e^{\frac{9}{4}}, \frac{7}{8})$ である。