(1) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$ を求めよ。 (2) $\lim_{x \to 2+0} [x]$ を求めよ。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$ を求めよ。

(2) $\lim_{x \to 2+0} [x]$ を求めよ。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 3-0$ なので、$x$ は 3 より小さい値から 3 に近づく。したがって、$x-3 < 0$ となり、$|x-3| = -(x-3)$ である。よって、

\begin{align*}

\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|} &= \lim_{x \to 3-0} \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)} \\

&= \lim_{x \to 3-0} -(x+3) \\

&= -(3+3) \\

&= -6

\end{align*}

(2)

$x \to 2+0$ なので、$x$ は 2 より大きい値から 2 に近づく。

$x > 2$ であるから、 $2 < x < 3$ となる範囲で $x$ が 2 に近づくことを考える。このとき、$[x] = 2$ である。したがって、

\begin{align*}

\lim_{x \to 2+0} [x] = 2

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) -6

(2) 2