以下の関数 $f(x)$ のマクローリン展開の $0$ でない初めの3項までを求める問題です。 (a) $f(x) = e^{2x}$ (b) $f(x) = \sin{2x}$ (c) $f(x) = \cos{3x}$

1. 問題の内容

以下の関数 $f(x)$ のマクローリン展開の $0$ でない初めの3項までを求める問題です。

(a) $f(x) = e^{2x}$

(b) $f(x) = \sin{2x}$

(c) $f(x) = \cos{3x}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。つまり、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

となります。各関数について、必要な階数までの導関数を計算し、$x=0$ を代入して係数を求め、展開式に代入します。

(a) $f(x) = e^{2x}$

$f(0) = e^{0} = 1$

$f'(x) = 2e^{2x}$ , $f'(0) = 2e^{0} = 2$

$f''(x) = 4e^{2x}$ , $f''(0) = 4e^{0} = 4$

$f'''(x) = 8e^{2x}$ , $f'''(0) = 8e^{0} = 8$

よって、

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3 + ... = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + ...$

$0$ でない初めの3項は、$1$, $2x$, $2x^2$

(b) $f(x) = \sin{2x}$

$f(0) = \sin{0} = 0$

$f'(x) = 2\cos{2x}$ , $f'(0) = 2\cos{0} = 2$

$f''(x) = -4\sin{2x}$ , $f''(0) = -4\sin{0} = 0$

$f'''(x) = -8\cos{2x}$ , $f'''(0) = -8\cos{0} = -8$

$f''''(x) = 16\sin{2x}$ , $f''''(0) = 16\sin{0} = 0$

$f'''''(x) = 32\cos{2x}$ , $f'''''(0) = 32\cos{0} = 32$

よって、

$\sin{2x} = 0 + 2x + 0x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 + 0x^4 + \frac{32}{5!}x^5 + ... = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 + ...$

$0$ でない初めの3項は、$2x$, $-\frac{4}{3}x^3$, $\frac{4}{15}x^5$

(c) $f(x) = \cos{3x}$

$f(0) = \cos{0} = 1$

$f'(x) = -3\sin{3x}$ , $f'(0) = -3\sin{0} = 0$

$f''(x) = -9\cos{3x}$ , $f''(0) = -9\cos{0} = -9$

$f'''(x) = 27\sin{3x}$ , $f'''(0) = 27\sin{0} = 0$

$f''''(x) = 81\cos{3x}$ , $f''''(0) = 81\cos{0} = 81$

$f'''''(x) = -243\sin{3x}$ , $f'''''(0) = -243\sin{0} = 0$

$f''''''(x) = -729\cos{3x}$ , $f''''''(0) = -729\cos{0} = -729$

よって、

$\cos{3x} = 1 + 0x + \frac{-9}{2!}x^2 + 0x^3 + \frac{81}{4!}x^4 + 0x^5 + \frac{-729}{6!}x^6 + ... = 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 - \frac{81}{80}x^6 + ...$

$0$ でない初めの3項は、$1$, $-\frac{9}{2}x^2$, $\frac{27}{8}x^4$

3. 最終的な答え

(a) $1 + 2x + 2x^2$

(b) $2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5$

(c) $1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$