与えられた関数の逆関数を求める問題です。今回は、以下の3つの関数について逆関数を求めます。 (1) $y = 3x - 1$ (4) $y = x^2 + 2x$ ($x \ge -1$) (6) $y = -x^2 + 4x$ ($x \le 2$)

1. 問題の内容

与えられた関数の逆関数を求める問題です。今回は、以下の3つの関数について逆関数を求めます。

(1) $y = 3x - 1$

(4) $y = x^2 + 2x$ ($x \ge -1$)

(6) $y = -x^2 + 4x$ ($x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x - 1$ の逆関数を求める

まず、$x$について解きます。

$y = 3x - 1$

$y + 1 = 3x$

$x = \frac{y + 1}{3}$

次に、$x$と$y$を入れ替えます。

$y = \frac{x + 1}{3}$

したがって、逆関数は $f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{3}$ です。

(4) $y = x^2 + 2x$ ($x \ge -1$) の逆関数を求める

まず、$y = x^2 + 2x$を平方完成します。

$y = (x + 1)^2 - 1$

$(x + 1)^2 = y + 1$

$x + 1 = \pm \sqrt{y + 1}$

$x = -1 \pm \sqrt{y + 1}$

条件 $x \ge -1$ より、$x = -1 + \sqrt{y + 1}$となります。

次に、$x$と$y$を入れ替えます。

$y = -1 + \sqrt{x + 1}$

したがって、逆関数は $f^{-1}(x) = -1 + \sqrt{x + 1}$ です。

(6) $y = -x^2 + 4x$ ($x \le 2$) の逆関数を求める

まず、$y = -x^2 + 4x$を平方完成します。

$y = -(x^2 - 4x)$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4$

$y = -(x - 2)^2 + 4$

$(x - 2)^2 = 4 - y$

$x - 2 = \pm \sqrt{4 - y}$

$x = 2 \pm \sqrt{4 - y}$

条件 $x \le 2$ より、$x = 2 - \sqrt{4 - y}$となります。

次に、$x$と$y$を入れ替えます。

$y = 2 - \sqrt{4 - x}$

したがって、逆関数は $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{4 - x}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{3}$

(4) $f^{-1}(x) = -1 + \sqrt{x + 1}$

(6) $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{4 - x}$