曲線が媒介変数表示されているとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す問題です。具体的には、以下の2つの場合について $\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (1) $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, y = \frac{3t}{1+t^2}$ (2) $x = \log(\log t), y = \log t$

1. 問題の内容

曲線が媒介変数表示されているとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す問題です。具体的には、以下の2つの場合について $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(1) $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, y = \frac{3t}{1+t^2}$

(2) $x = \log(\log t), y = \log t$

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx}$ を求めるには、媒介変数表示の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を使用します。

(1) の場合

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{(-2t)(1+t^2) - (1-t^2)(2t)}{(1+t^2)^2} = \frac{-2t - 2t^3 - 2t + 2t^3}{(1+t^2)^2} = \frac{-4t}{(1+t^2)^2}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{3(1+t^2) - 3t(2t)}{(1+t^2)^2} = \frac{3 + 3t^2 - 6t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{3 - 3t^2}{(1+t^2)^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\frac{3-3t^2}{(1+t^2)^2}}{\frac{-4t}{(1+t^2)^2}} = \frac{3-3t^2}{-4t} = \frac{3t^2 - 3}{4t}$

(2) の場合

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\log t} \cdot \frac{1}{t} = \frac{1}{t \log t}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t \log t}} = \log t$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 3}{4t}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \log t$