$x = \tan t$, $y = \sin t$ とするとき、$t = \frac{\pi}{6}$ における $\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求め、$ \frac{dy}{dx} (\frac{\pi}{6}) = \frac{A\sqrt{3}}{8}$ および $\frac{d^2y}{dx^2} (\frac{\pi}{6}) = \frac{B}{32}$ を満たす $A$ と $B$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \tan t$, $y = \sin t$ とするとき、$t = \frac{\pi}{6}$ における $\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求め、$\frac{dy}{dx} (\frac{\pi}{6}) = \frac{A\sqrt{3}}{8}$ および $\frac{d^2y}{dx^2} (\frac{\pi}{6}) = \frac{B}{32}$ を満たす $A$ と $B$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dt} = \cos t$

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\cos^2 t}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\cos t}{\frac{1}{\cos^2 t}} = \cos^3 t$

$t = \frac{\pi}{6}$ のとき、$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\frac{dy}{dx} (\frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

問題より、$\frac{dy}{dx} (\frac{\pi}{6}) = \frac{A\sqrt{3}}{8}$ なので、$\frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{A\sqrt{3}}{8}$ より、$A = 3$。

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (\cos^3 t) = \frac{\frac{d}{dt} (\cos^3 t)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3\cos^2 t (-\sin t)}{\frac{1}{\cos^2 t}} = -3\cos^4 t \sin t$

$t = \frac{\pi}{6}$ のとき、$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{d^2y}{dx^2} (\frac{\pi}{6}) = -3(\frac{\sqrt{3}}{2})^4 (\frac{1}{2}) = -3 (\frac{9}{16}) (\frac{1}{2}) = -\frac{27}{32}$

問題より、$\frac{d^2y}{dx^2} (\frac{\pi}{6}) = \frac{B}{32}$ なので、$-\frac{27}{32} = \frac{B}{32}$ より、$B = -27$。

3. 最終的な答え

$A = 3$

$B = -27$