関数 $f(z) = \frac{1}{z-a}$ (ただし $z = x + iy$）の微分係数を求め、特に $z_0$ における微分係数を求めます。ここで $a = a + ib$ （$a, b$ は実数）とおき、$b=0$ の場合と $b \neq 0$ の場合に分けて考える必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(z) = \frac{1}{z-a}$ (ただし $z = x + iy$）の微分係数を求め、特に $z_0$ における微分係数を求めます。ここで $a = a + ib$ （$a, b$ は実数）とおき、$b=0$ の場合と $b \neq 0$ の場合に分けて考える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f(z)$ の微分を計算します。

$f'(z) = \frac{d}{dz} \left( \frac{1}{z-a} \right) = -\frac{1}{(z-a)^2}$

次に、$z=z_0$ における微分係数 $f'(z_0)$ を求めます。

$f'(z_0) = -\frac{1}{(z_0 - a)^2}$

ここで、$z_0$ が実数であるかどうかによって場合分けをします。

$z_0 = x_0 + iy_0$ と表します。

$f'(z_0) = -\frac{1}{(x_0 + iy_0 - a - ib)^2} = -\frac{1}{(x_0 - a + i(y_0 - b))^2}$

さらに、$b=0$ の場合と $b \neq 0$ の場合に分けて計算します。

* $b = 0$ の場合:

$a = a$ は実数なので、

$f'(z_0) = -\frac{1}{(x_0 + iy_0 - a)^2} = -\frac{1}{(x_0 - a + iy_0)^2}$

$f'(z_0) = -\frac{1}{(x_0-a)^2 - y_0^2 + 2iy_0(x_0-a)}$

* $b \neq 0$ の場合:

$a = a + ib$ は複素数なので、

$f'(z_0) = -\frac{1}{(x_0 + iy_0 - a - ib)^2} = -\frac{1}{(x_0 - a + i(y_0 - b))^2}$

$f'(z_0) = -\frac{1}{(x_0-a)^2 - (y_0 -b)^2 + 2i(x_0 - a)(y_0-b)}$

3. 最終的な答え

$f'(z_0) = -\frac{1}{(z_0 - a)^2}$

$b=0$のとき、

$f'(z_0) = -\frac{1}{(x_0-a+iy_0)^2}$

$b \neq 0$のとき、

$f'(z_0) = -\frac{1}{(x_0-a+i(y_0 -b))^2}$