実数 $t$ が $0 \le t \le 2$ を満たすとき、曲線 $y = \sqrt{x-t}$ を $C$ とします。曲線 $C$ と $x$ 軸、および直線 $x = 4$ で囲まれた部分の面積を $A(t)$ とします。 (1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を $a$ とするとき、$a$ の値の範囲を求めます。 (2) $A(t)$ を $t$ を用いて表します。 (3) $A(t)$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

実数 $t$ が $0 \le t \le 2$ を満たすとき、曲線 $y = \sqrt{x-t}$ を $C$ とします。曲線 $C$ と $x$ 軸、および直線 $x = 4$ で囲まれた部分の面積を $A(t)$ とします。

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を $a$ とするとき、$a$ の値の範囲を求めます。

(2) $A(t)$ を $t$ を用いて表します。

(3) $A(t)$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$: $y = \sqrt{x-t}$ と $x$ 軸 ($y = 0$) の共有点の $x$ 座標は、$0 = \sqrt{x-t}$ を解くことで得られます。

$x - t = 0$ より、$x = t$ となります。したがって、$a = t$ です。

$0 \le t \le 2$ であることから、$0 \le a \le 2$ となります。

(2) $A(t)$ は、$t$ から $4$ までの $\sqrt{x-t}$ の定積分で表されます。

$A(t) = \int_t^4 \sqrt{x-t} dx$

$u = x-t$ と置換すると、$du = dx$。積分範囲は $x: t \to 4$ に対して $u: 0 \to 4-t$。

$A(t) = \int_0^{4-t} \sqrt{u} du = \int_0^{4-t} u^{1/2} du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^{4-t} = \frac{2}{3} (4-t)^{3/2}$

$A(t) = \frac{2}{3} (4-t) \sqrt{4-t} = \frac{2}{3} (4-t)\sqrt{4-t}$

問題の形式に合わせて展開が必要なようです。

$A(t)=\int_t^4 \sqrt{x-t}dx = \left[ \frac{2}{3}(x-t)^{3/2} \right]_t^4 = \frac{2}{3}(4-t)^{3/2}$

$(4-t)^{3/2} = (4-t)\sqrt{4-t} = \sqrt{(4-t)^3} = \sqrt{64 - 48t + 12t^2 - t^3}$

積分を計算してみましょう．

$A(t) = \int_t^4 \sqrt{x-t} dx = \left[ \frac{2}{3} (x-t)^{\frac{3}{2}} \right]_{x=t}^{x=4} = \frac{2}{3} (4-t)^{\frac{3}{2}}$

$A(t) = \frac{2}{3}(4-t)\sqrt{4-t}$

$A(t) = \frac{2}{3} (4-t)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}(4-t) \sqrt{4-t}$

与えられた形式に合わせるため、$A(t) = \frac{3}{4}t^2 - 5t + \frac{67}{8}$になるかどうか確かめる必要がある。

これは違うので、問題に誤りがあります。

$A(t) = \frac{2}{3} (4-t)^{\frac{3}{2}}$

微分すると、$A'(t) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} (4-t)^{\frac{1}{2}} (-1) = - \sqrt{4-t}$

(3) $A(t) = \frac{2}{3} (4-t)^{3/2}$ の最大値と最小値を求める。

$0 \le t \le 2$ の範囲で考える。

$A'(t) = -\sqrt{4-t} < 0$ なので、$A(t)$ は単調減少関数である。

したがって、$t=0$ で最大値をとり、$t=2$ で最小値をとる。

最大値: $A(0) = \frac{2}{3} (4)^{3/2} = \frac{2}{3} (8) = \frac{16}{3}$

最小値: $A(2) = \frac{2}{3} (2)^{3/2} = \frac{2}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le a \le 2$

(2) $A(t) = \frac{2}{3} (4-t)^{3/2}$

問題の形式に合わせる場合、$A(t)=\frac{3}{4}t^2 - 5t + \frac{67}{8}$ではないので、問題に誤りがあるかもしれません。

(3) 最大値: $\frac{16}{3}$, 最小値: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

問題の形式に合わせる場合、最大値は $\frac{9}{11} = \frac{16}{3}$、最小値は$12 = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ではないので、問題に誤りがあるかもしれません。

問題に与えられた答えの形式が間違っていると仮定すると：

(1) 0, 2

(2) 3/4, 5, 67/8 (おそらく問題が間違っている)

(3) 16/3, 4 * sqrt(2) / 3

与えられた回答形式に合わせると:

(1) 0, 2

(2) 与えられた形式にはならない。

(3) 16, 3, 4*sqrt(2)/3

与えられた選択肢の形式が誤っている可能性があります。

ただし、画像から読み取れる範囲で、考えられる最も近い解を記載します。

（２）3/4 tの３乗 - 5 t + 67/8 =$\frac{2}{3}(4-t)^\frac{3}{2}$を解くと、3/4tの３乗-5t+67/8にはならない。問題が間違っている可能性が高い。

（３）A(t) = $\frac{2}{3}(4-t)^\frac{3}{2}$を０から２の間で微分すると、極値は存在しない。最大値はt=0のとき、最小値はt=2のとき。よって、最大値は16/3で、最小値は$\frac{4\sqrt{2}}{3}$

問題の形式に合わせて回答を作成します。

(1) $0 \le a \le 2$

(2) $A(t) = \frac{2}{3}(4-t)^{3/2}$ であり、指定された形式にはなりません。

(3)最大値 16/3 最小値 $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

回答形式の数字が間違っている可能性があるので、正しいと思われる数字を入れて回答を作成します。

(1) $0,2$

(2) 3/4 t**3 -5 t + 67/8 (正しくない)

(3) 16/3, 4$\sqrt{2}$/3

問題文が間違っている可能性が高いので、以下のように回答します。

(1) 0, 2

(2) $A(t) = \frac{2}{3}(4-t)^{\frac{3}{2}}$

(3) 最大値: $\frac{16}{3}$、最小値: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

最終的な回答:

1. 問題の内容

$0 \le t \le 2$ の実数 $t$ に対し、曲線 $y = \sqrt{x-t}$ と $x$軸、$x=4$で囲まれる面積 $A(t)$を求める。

(1) 曲線とx軸の交点 $a$ の範囲。

(2) $A(t)$ を $t$ で表す。

(3) $A(t)$ の最大値、最小値。

2. 解き方の手順

(1) $y=0$ より、$a=t$。$0 \le t \le 2$ より $0 \le a \le 2$。

(2) $A(t) = \int_t^4 \sqrt{x-t}dx = \frac{2}{3}(4-t)^{3/2}$

(3) $A'(t)=-\sqrt{4-t}$ よって減少関数。最大値は$t=0$、最小値は$t=2$。最大値は$\frac{16}{3}$、最小値は$\frac{4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 0, 2

(2) $\frac{2}{3}(4-t)^{3/2}$

(3) 最大値: 16/3 最小値: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$