$\frac{(\sqrt{x}+2)^3}{\sqrt{x}}$ の不定積分を求める問題です。

## 問題の解答

以下に、問題文に記載されている積分問題を解きます。

### (1) $\int \frac{(\sqrt{x}+2)^3}{\sqrt{x}} dx$

1. **問題の内容**

$\frac{(\sqrt{x}+2)^3}{\sqrt{x}}$ の不定積分を求める問題です。

2. **解き方の手順**

まず、$(\sqrt{x}+2)^3$を展開します。

$(\sqrt{x}+2)^3 = (\sqrt{x})^3 + 3(\sqrt{x})^2(2) + 3(\sqrt{x})(2)^2 + 2^3 = x\sqrt{x} + 6x + 12\sqrt{x} + 8$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x\sqrt{x} + 6x + 12\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x}} dx = \int (x + 6\sqrt{x} + 12 + \frac{8}{\sqrt{x}}) dx$

各項を積分します。

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int 6\sqrt{x} dx = 6 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 6 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 4x^{\frac{3}{2}} = 4x\sqrt{x}$

$\int 12 dx = 12x$

$\int \frac{8}{\sqrt{x}} dx = 8 \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 8 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 16\sqrt{x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (x + 6\sqrt{x} + 12 + \frac{8}{\sqrt{x}}) dx = \frac{x^2}{2} + 4x\sqrt{x} + 12x + 16\sqrt{x} + C$

3. **最終的な答え**

$\frac{x^2}{2} + 4x\sqrt{x} + 12x + 16\sqrt{x} + C$

### (2) $\int \frac{x+\cos^2x}{x\cos^2x} dx$

1. **問題の内容**

$\frac{x+\cos^2x}{x\cos^2x}$ の不定積分を求める問題です。

2. **解き方の手順**

まず、積分を分割します。

$\int \frac{x+\cos^2x}{x\cos^2x} dx = \int (\frac{x}{x\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{x\cos^2x}) dx = \int (\frac{1}{\cos^2x} + \frac{1}{x}) dx$

$\int \frac{1}{\cos^2x} dx = \int \sec^2x dx = \tan x$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x|$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (\frac{1}{\cos^2x} + \frac{1}{x}) dx = \tan x + \ln |x| + C$

3. **最終的な答え**

$\tan x + \ln |x| + C$

### (3) $\int \cos^2x dx$

1. **問題の内容**

$\cos^2x$ の不定積分を求める問題です。

2. **解き方の手順**

$\cos^2x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ という三角関数の恒等式を利用します。

$\int \cos^2x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) dx$

$\int 1 dx = x$

$\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x$

したがって、積分は次のようになります。

$\frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

3. **最終的な答え**

$\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

### (4) $\int (\sin x + \frac{1}{\sin x})^2 dx$

1. **問題の内容**

$(\sin x + \frac{1}{\sin x})^2$ の不定積分を求める問題です。

2. **解き方の手順**

まず、$(\sin x + \frac{1}{\sin x})^2$を展開します。

$(\sin x + \frac{1}{\sin x})^2 = \sin^2 x + 2(\sin x)(\frac{1}{\sin x}) + \frac{1}{\sin^2 x} = \sin^2 x + 2 + \csc^2 x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (\sin^2 x + 2 + \csc^2 x) dx = \int \sin^2 x dx + \int 2 dx + \int \csc^2 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ という三角関数の恒等式を利用します。

$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin 2x) = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}$

$\int 2 dx = 2x$

$\int \csc^2 x dx = -\cot x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (\sin^2 x + 2 + \csc^2 x) dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + 2x - \cot x + C = \frac{5x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} - \cot x + C$

3. **最終的な答え**

$\frac{5x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} - \cot x + C$

### (5) $\int \sin mx \cdot \cos nx dx$

1. **問題の内容**

$\sin mx \cdot \cos nx$ の不定積分を求める問題です。ここで、$m$と$n$は自然数です。

2. **解き方の手順**

三角関数の積和の公式を利用します。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

$\sin mx \cos nx = \frac{1}{2} [\sin(mx+nx) + \sin(mx-nx)] = \frac{1}{2} [\sin((m+n)x) + \sin((m-n)x)]$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \sin mx \cos nx dx = \frac{1}{2} \int [\sin((m+n)x) + \sin((m-n)x)] dx$

$\int \sin((m+n)x) dx = -\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}$

$\int \sin((m-n)x) dx = -\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}$ (ただし、$m \neq n$)

$m = n$の場合、$\int \sin((m-n)x) dx = \int \sin(0) dx = \int 0 dx = 0$

したがって、$m \neq n$の場合、積分は次のようになります。

$\frac{1}{2} \int [\sin((m+n)x) + \sin((m-n)x)] dx = \frac{1}{2} [-\frac{\cos((m+n)x)}{m+n} - \frac{\cos((m-n)x)}{m-n}] + C$

$= -\frac{\cos((m+n)x)}{2(m+n)} - \frac{\cos((m-n)x)}{2(m-n)} + C$

$m = n$の場合、

$\int \sin mx \cos nx dx = \frac{1}{2} \int \sin(2mx) dx = -\frac{\cos(2mx)}{4m} + C$

3. **最終的な答え**

$m \neq n$の場合: $-\frac{\cos((m+n)x)}{2(m+n)} - \frac{\cos((m-n)x)}{2(m-n)} + C$

$m = n$の場合: $-\frac{\cos(2mx)}{4m} + C$

### (6) $\int (e^x + e^{-x})^2 dx$

1. **問題の内容**

$(e^x + e^{-x})^2$ の不定積分を求める問題です。

2. **解き方の手順**

まず、$(e^x + e^{-x})^2$を展開します。

$(e^x + e^{-x})^2 = (e^x)^2 + 2(e^x)(e^{-x}) + (e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) dx = \int e^{2x} dx + \int 2 dx + \int e^{-2x} dx$

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x}$

$\int 2 dx = 2x$

$\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} e^{-2x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) dx = \frac{1}{2} e^{2x} + 2x - \frac{1}{2} e^{-2x} + C$

3. **最終的な答え**

$\frac{1}{2} e^{2x} + 2x - \frac{1}{2} e^{-2x} + C$