$0 \le t \le 2$ を満たす実数 $t$ に対し、$xy$ 平面上の曲線 $y = \sqrt{x - t}$ を $C$ とする。また、曲線 $C$ と $x$ 軸、および直線 $x = 4$ で囲まれた部分の面積を $A(t)$ とする。 (1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を $a$ とする。$a$ を $t$ を用いて表すことにより、$a$ の値の範囲を求める。 (2) $A(t)$ を $t$ を用いて表す。 (3) $A(t)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le t \le 2$ を満たす実数 $t$ に対し、$xy$ 平面上の曲線 $y = \sqrt{x - t}$ を $C$ とする。また、曲線 $C$ と $x$ 軸、および直線 $x = 4$ で囲まれた部分の面積を $A(t)$ とする。

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を $a$ とする。$a$ を $t$ を用いて表すことにより、$a$ の値の範囲を求める。

(2) $A(t)$ を $t$ を用いて表す。

(3) $A(t)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標 $a$ は、$y = \sqrt{x - t}$ に $y = 0$ を代入して得られる。

$0 = \sqrt{x - t}$ より、$x = t$。したがって、$a = t$。

$0 \le t \le 2$ より、$0 \le a \le 2$。

(2) 面積 $A(t)$ は、$\int_{t}^{4} \sqrt{x - t} dx$ で計算できる。

$u = x - t$ と置換すると、$du = dx$。

$x = t$ のとき $u = 0$、$x = 4$ のとき $u = 4 - t$。

よって、$A(t) = \int_{0}^{4 - t} \sqrt{u} du = \int_{0}^{4 - t} u^{\frac{1}{2}} du = \left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4 - t} = \frac{2}{3}(4 - t)^{\frac{3}{2}}$。

(3) $A(t) = \frac{2}{3}(4 - t)^{\frac{3}{2}}$ の最大値と最小値を求める。

$A'(t) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} (4 - t)^{\frac{1}{2}} \cdot (-1) = -(4 - t)^{\frac{1}{2}}$。

$A'(t) = 0$ となる $t$ は存在しない。

$A(t)$ は $0 \le t \le 2$ で単調減少である。

したがって、

$t = 0$ のとき、$A(0) = \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$。

$t = 2$ のとき、$A(2) = \frac{2}{3}(4 - 2)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}(2)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$。

最大値は $\frac{16}{3}$、最小値は $\frac{4\sqrt{2}}{3}$。

1. 最終的な答え

(1) $0 \le a \le 2$

(2) $A(t) = \frac{2}{3}(4 - t)^{\frac{3}{2}}$

(3) 最大値は $\frac{16}{3}$、最小値は $\frac{4\sqrt{2}}{3}$