次の4つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{dx}{x^2 - 1}$ (2) $\int \frac{dx}{x^2 + 2}$ (3) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 3}}$ (4) $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}$

1. 問題の内容

次の4つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{dx}{x^2 - 1}$

(2) $\int \frac{dx}{x^2 + 2}$

(3) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 3}}$

(4) $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ とおきます。

$1 = A(x+1) + B(x-1)$ となり、$x=1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$x=-1$ のとき $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

よって、

$\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \frac{1}{2} (\log |x-1| - \log |x+1|) + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

(2) $x = \sqrt{2} \tan \theta$ と置換します。$dx = \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta$

$\int \frac{dx}{x^2 + 2} = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2 \tan^2 \theta + 2} d\theta = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2 \sec^2 \theta} d\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \int d\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \theta + C$

$\theta = \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}$ なので、

$\int \frac{dx}{x^2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C$

(3) $x = \sqrt{3} \cosh \theta$ と置換します。$dx = \sqrt{3} \sinh \theta d\theta$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 3}} = \int \frac{\sqrt{3} \sinh \theta}{\sqrt{3 \cosh^2 \theta - 3}} d\theta = \int \frac{\sqrt{3} \sinh \theta}{\sqrt{3 \sinh^2 \theta}} d\theta = \int d\theta = \theta + C$

$\theta = \operatorname{arcosh} \frac{x}{\sqrt{3}} = \log ( \frac{x}{\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{x^2}{3}-1} )$なので

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 3}} = \log |x + \sqrt{x^2 - 3}| + C'$

(4) $x = 2 \sin \theta$ と置換します。$dx = 2 \cos \theta d\theta$

$\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \int \frac{2 \cos \theta}{\sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta}} d\theta = \int \frac{2 \cos \theta}{2 \cos \theta} d\theta = \int d\theta = \theta + C$

$\theta = \arcsin \frac{x}{2}$ なので、

$\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C$

(3) $\log |x + \sqrt{x^2 - 3}| + C$

(4) $\arcsin \frac{x}{2} + C$