はい、承知いたしました。画像にある微分方程式の問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある微分方程式の問題を解きます。

**

1. 問題の内容**

5つの微分方程式の問題があります。

1. $y'' - 8y' + 25y = 0$, 初期条件: $y(0) = 2, y'(0) = -1$

2. $y'' - 7y' + 12y = 0$, 初期条件: $y(0) = 1, y'(0) = 1$

3. $y'' - 10y' + 25y = 0$, 初期条件: $y(0) = -1, y'(0) = -2$

4. $y'' + 4y = A \sin 2x$ (定数変化法を使用)

5. $y'' - y = -30e^{2x} \sin 3x$ (未定係数法を使用)

**

2. 解き方の手順**

1. $y'' - 8y' + 25y = 0$, $y(0) = 2, y'(0) = -1$

特性方程式: $r^2 - 8r + 25 = 0$

解: $r = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 100}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{-36}}{2} = 4 \pm 3i$

一般解: $y(x) = e^{4x}(c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x))$

$y'(x) = 4e^{4x}(c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x)) + e^{4x}(-3c_1 \sin(3x) + 3c_2 \cos(3x))$

初期条件適用:

$y(0) = e^0(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 = 2$

$y'(0) = 4e^0(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) + e^0(-3c_1 \sin(0) + 3c_2 \cos(0)) = 4c_1 + 3c_2 = -1$

$4(2) + 3c_2 = -1$

$3c_2 = -9$

$c_2 = -3$

よって、解は $y(x) = e^{4x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))$

2. $y'' - 7y' + 12y = 0$, $y(0) = 1, y'(0) = 1$

特性方程式: $r^2 - 7r + 12 = 0$

解: $(r-3)(r-4) = 0$, $r = 3, 4$

一般解: $y(x) = c_1e^{3x} + c_2e^{4x}$

$y'(x) = 3c_1e^{3x} + 4c_2e^{4x}$

初期条件適用:

$y(0) = c_1e^0 + c_2e^0 = c_1 + c_2 = 1$

$y'(0) = 3c_1e^0 + 4c_2e^0 = 3c_1 + 4c_2 = 1$

連立方程式を解く:

$c_1 + c_2 = 1$

$3c_1 + 4c_2 = 1$

$3c_1 + 3c_2 = 3$

$3c_1 + 4c_2 = 1$

$c_2 = -2$

$c_1 = 3$

よって、解は $y(x) = 3e^{3x} - 2e^{4x}$

3. $y'' - 10y' + 25y = 0$, $y(0) = -1, y'(0) = -2$

特性方程式: $r^2 - 10r + 25 = 0$

解: $(r-5)^2 = 0$, $r = 5$ (重解)

一般解: $y(x) = c_1e^{5x} + c_2xe^{5x}$

$y'(x) = 5c_1e^{5x} + c_2e^{5x} + 5c_2xe^{5x}$

初期条件適用:

$y(0) = c_1e^0 + c_2(0)e^0 = c_1 = -1$

$y'(0) = 5c_1e^0 + c_2e^0 + 5c_2(0)e^0 = 5c_1 + c_2 = -2$

$5(-1) + c_2 = -2$

$c_2 = 3$

よって、解は $y(x) = -e^{5x} + 3xe^{5x} = e^{5x}(3x-1)$

4. $y'' + 4y = A \sin 2x$ (定数変化法を使用)

同次方程式: $y'' + 4y = 0$

特性方程式: $r^2 + 4 = 0$

解: $r = \pm 2i$

基本解: $y_1 = \cos 2x, y_2 = \sin 2x$

ロンスキー行列式: $W = \begin{vmatrix} \cos 2x & \sin 2x \\ -2\sin 2x & 2\cos 2x \end{vmatrix} = 2\cos^2 2x + 2\sin^2 2x = 2$

特殊解: $y_p = -y_1 \int \frac{y_2 f(x)}{W} dx + y_2 \int \frac{y_1 f(x)}{W} dx$

$y_p = -\cos 2x \int \frac{\sin 2x (A\sin 2x)}{2} dx + \sin 2x \int \frac{\cos 2x (A\sin 2x)}{2} dx$

$y_p = -\frac{A}{2}\cos 2x \int \sin^2 2x dx + \frac{A}{2}\sin 2x \int \sin 2x \cos 2x dx$

$\int \sin^2 2x dx = \int \frac{1 - \cos 4x}{2} dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 4x}{8}$

$\int \sin 2x \cos 2x dx = \int \frac{\sin 4x}{2} dx = -\frac{\cos 4x}{8}$

$y_p = -\frac{A}{2}\cos 2x (\frac{x}{2} - \frac{\sin 4x}{8}) + \frac{A}{2}\sin 2x (-\frac{\cos 4x}{8})$

$y_p = -\frac{A}{4}x\cos 2x + \frac{A}{16}\cos 2x \sin 4x - \frac{A}{16}\sin 2x \cos 4x$

$y_p = -\frac{A}{4}x\cos 2x + \frac{A}{16} \sin(4x-2x) = -\frac{A}{4}x \cos 2x + \frac{A}{16} \sin(2x)$.

一般解: $y = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x - \frac{A}{4}x \cos 2x$.

5. $y'' - y = -30e^{2x} \sin 3x$ (未定係数法を使用)

同次方程式: $y'' - y = 0$

特性方程式: $r^2 - 1 = 0$

解: $r = \pm 1$

基本解: $y_h = c_1e^x + c_2e^{-x}$

特殊解を仮定: $y_p = e^{2x}(A \sin 3x + B \cos 3x)$

$y_p' = e^{2x}(2A \sin 3x + 2B \cos 3x + 3A \cos 3x - 3B \sin 3x) = e^{2x}((2A-3B)\sin 3x + (3A+2B)\cos 3x)$

$y_p'' = e^{2x}(2(2A-3B)\sin 3x + 2(3A+2B)\cos 3x + 3(2A-3B)\cos 3x - 3(3A+2B)\sin 3x)$

$y_p'' = e^{2x}((4A-6B-9A-6B)\sin 3x + (6A+4B+6A-9B)\cos 3x) = e^{2x}((-5A-12B)\sin 3x + (12A-5B)\cos 3x)$

$y_p'' - y_p = e^{2x}((-5A-12B)\sin 3x + (12A-5B)\cos 3x) - e^{2x}(A \sin 3x + B \cos 3x) = -30e^{2x} \sin 3x$

$e^{2x}((-6A-12B)\sin 3x + (12A-6B)\cos 3x) = -30e^{2x} \sin 3x$

$-6A - 12B = -30$

$12A - 6B = 0$

$A + 2B = 5$

$2A - B = 0 \implies B = 2A$

$A + 4A = 5$

$5A = 5$

$A = 1$

$B = 2$

$y_p = e^{2x}(\sin 3x + 2\cos 3x)$

一般解: $y = c_1e^x + c_2e^{-x} + e^{2x}(\sin 3x + 2\cos 3x)$

**

3. 最終的な答え**

1. $y(x) = e^{4x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))$

2. $y(x) = 3e^{3x} - 2e^{4x}$

3. $y(x) = e^{5x}(3x-1)$

4. $y = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x - \frac{A}{4}x \cos 2x$

5. $y = c_1e^x + c_2e^{-x} + e^{2x}(\sin 3x + 2\cos 3x)$