関数 $x^{\cos x}$ ($x>0$)の導関数を求めます。

わかりました。画像に写っている問題のうち、(8) $x^{\cos x}$ , (9) $\arcsin x$, (10) $\frac{\arctan x}{x}$, (11) $\ln|x + \sqrt{x^2+A}|$ の導関数を求める問題だと解釈します。

問題(8)以外は基本的な関数の導関数なので、ここでは問題(8)の導関数を求めることにします。

1. 問題の内容

関数 $x^{\cos x}$ ($x>0$)の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

対数微分法を使用します。

ステップ1: $y = x^{\cos x}$ と置きます。両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^{\cos x}) = \cos x \ln x$

ステップ2: 両辺を $x$ について微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (-\sin x) \ln x + \cos x \cdot \frac{1}{x}$

ステップ3: $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = y \left( -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x} \right)$

ステップ4: $y = x^{\cos x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos x} \left( -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} x^{\cos x} = x^{\cos x} \left( \frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x \right)$

あるいは、

$\frac{d}{dx} x^{\cos x} = x^{\cos x} \left( \frac{\cos x - x\sin x \ln x}{x} \right)$