以下の極限と導関数を求めます。 (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(2x+1)}{3x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x+2}{x+1}$ (6) $\sin(2x+3)$ の導関数 (7) $x^2 \cos(2x+3)$ の導関数

はい、承知いたしました。OCRの結果に基づき、画像に写っている問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の極限と導関数を求めます。

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(2x+1)}{3x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x+2}{x+1}$

(6) $\sin(2x+3)$ の導関数

(7) $x^2 \cos(2x+3)$ の導関数

2. 解き方の手順

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 3x}{2x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(2x+1)}{3x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\ln(2x+1)}{3x} = \frac{\ln(1+2x)}{2x} \cdot \frac{2x}{3x} = \frac{\ln(1+2x)}{2x} \cdot \frac{2}{3}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(2x+1)}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{2x} \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x+2}{x+1}$

分子を因数分解すると $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$ となります。

$\frac{x^2+3x+2}{x+1} = \frac{(x+1)(x+2)}{x+1} = x+2$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x+2}{x+1} = \lim_{x \to 0} (x+2) = 0+2 = 2$

(6) $\sin(2x+3)$ の導関数

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を利用します。

$f(x) = \sin x$, $g(x) = 2x+3$ とすると、

$\frac{d}{dx} \sin(2x+3) = \cos(2x+3) \cdot \frac{d}{dx} (2x+3) = \cos(2x+3) \cdot 2 = 2\cos(2x+3)$

(7) $x^2 \cos(2x+3)$ の導関数

積の微分公式 $\frac{d}{dx} (fg) = f'g + fg'$ と合成関数の微分公式を利用します。

$f(x) = x^2$, $g(x) = \cos(2x+3)$ とすると、

$f'(x) = 2x$

$g'(x) = -\sin(2x+3) \cdot 2 = -2\sin(2x+3)$

$\frac{d}{dx} (x^2 \cos(2x+3)) = 2x \cos(2x+3) + x^2 (-2\sin(2x+3)) = 2x \cos(2x+3) - 2x^2 \sin(2x+3)$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $\frac{2}{3}$

(5) $2$

(6) $2\cos(2x+3)$

(7) $2x \cos(2x+3) - 2x^2 \sin(2x+3)$