以下の2つの不定積分を求め、さらに条件を満たす関数を求める問題です。 (1) 不定積分: $\int \frac{dx}{x^2 + 2}$ (2) 不定積分: $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}$ (3) 関数: $F'(x) = \sin x$, $F(\pi) = 0$ を満たす $F(x)$ を求める

1. 問題の内容

以下の2つの不定積分を求め、さらに条件を満たす関数を求める問題です。

(1) 不定積分: $\int \frac{dx}{x^2 + 2}$

(2) 不定積分: $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}$

(3) 関数: $F'(x) = \sin x$, $F(\pi) = 0$ を満たす $F(x)$ を求める

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{dx}{x^2 + 2}$

$x = \sqrt{2} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta$ となる。

$\int \frac{dx}{x^2 + 2} = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2\tan^2 \theta + 2} d\theta = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2\sec^2 \theta} d\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \int d\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \theta + C$

ここで $\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}$

よって、$\int \frac{dx}{x^2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C$

(2) $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}$

$x = 2 \sin \theta$ と置換すると、$dx = 2 \cos \theta d\theta$ となる。

$\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \int \frac{2 \cos \theta}{\sqrt{4 - 4\sin^2 \theta}} d\theta = \int \frac{2 \cos \theta}{2 \cos \theta} d\theta = \int d\theta = \theta + C$

ここで $\sin \theta = \frac{x}{2}$ より $\theta = \arcsin \frac{x}{2}$

よって、$\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{2} + C$

(3) $F'(x) = \sin x$, $F(\pi) = 0$ を満たす $F(x)$ を求める

まず、$F'(x) = \sin x$ を積分して $F(x)$ を求める。

$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$

次に、$F(\pi) = 0$ の条件から、$C$ を求める。

$F(\pi) = -\cos \pi + C = -(-1) + C = 1 + C = 0$

よって、$C = -1$

したがって、$F(x) = -\cos x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{dx}{x^2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C$

(2) $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{2} + C$

(3) $F(x) = -\cos x - 1$