与えられた関数について、定義域、値域、逆関数を求める問題です。関数は2つあります。 (1) $y = \frac{x-1}{x+2}$ (2) $y = \sqrt{x-3}$

1. 問題の内容

与えられた関数について、定義域、値域、逆関数を求める問題です。関数は2つあります。

(1) $y = \frac{x-1}{x+2}$

(2) $y = \sqrt{x-3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x-1}{x+2}$

* 定義域：分母が0にならない条件より、$x+2 \neq 0$。したがって、$x \neq -2$。定義域は $x \neq -2$ のすべての実数です。

* 値域：$y = \frac{x-1}{x+2}$ を $x$ について解きます。

$y(x+2) = x-1$

$yx + 2y = x-1$

$yx - x = -1 - 2y$

$x(y-1) = -1 - 2y$

$x = \frac{-1-2y}{y-1}$

分母が0にならない条件より、$y-1 \neq 0$。したがって、$y \neq 1$。値域は $y \neq 1$ のすべての実数です。

* 逆関数：$x$ と $y$ を入れ替えます。

$y = \frac{-1-2x}{x-1}$

$y = \frac{-2x-1}{x-1}$

(2) $y = \sqrt{x-3}$

* 定義域：根号の中身が0以上になる条件より、$x-3 \geq 0$。したがって、$x \geq 3$。定義域は $x \geq 3$ のすべての実数です。

* 値域：平方根は0以上の値をとるので、$y \geq 0$。値域は $y \geq 0$ のすべての実数です。

* 逆関数：$y = \sqrt{x-3}$ の両辺を2乗すると、$y^2 = x-3$。これを $x$ について解くと、$x = y^2 + 3$。$x$ と $y$ を入れ替えると、$y = x^2 + 3$。ただし、$x \geq 0$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{x-1}{x+2}$

* 定義域：$x \neq -2$

* 値域：$y \neq 1$

* 逆関数：$y = \frac{-2x-1}{x-1}$

(2) $y = \sqrt{x-3}$

* 定義域：$x \geq 3$

* 値域：$y \geq 0$

* 逆関数：$y = x^2 + 3$ ($x \geq 0$)