与えられた複素関数または数列の収束・発散を調べ、収束する場合には極限値を求めます。問題は以下の3つです。 (1) $\lim_{z \to 0} \frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z}$ (2) $\lim_{z \to 0} \frac{z}{|z|}$ (3) $c_n = (\sqrt{5} - 2i)^n$

1. 問題の内容

与えられた複素関数または数列の収束・発散を調べ、収束する場合には極限値を求めます。問題は以下の3つです。

(1) $\lim_{z \to 0} \frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z}$

(2) $\lim_{z \to 0} \frac{z}{|z|}$

(3) $c_n = (\sqrt{5} - 2i)^n$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{z \to 0} \frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z}$ について:

まず、分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z} = \frac{(\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z})(\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z})}{z(\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z})} = \frac{(1+z) - (1-z)}{z(\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z})} = \frac{2z}{z(\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z})}$

$z \ne 0$ であれば、$z$ で割ることができます。

$\frac{2z}{z(\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z})} = \frac{2}{\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z}}$

$z \to 0$ のとき、

$\lim_{z \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z}} = \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

(2) $\lim_{z \to 0} \frac{z}{|z|}$ について:

$z = x + iy$ とすると、$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ です。

$\frac{z}{|z|} = \frac{x+iy}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$z$ が実軸に沿って $0$ に近づく場合、$y = 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1 & \text{if } x > 0 \\ -1 & \text{if } x < 0 \end{cases}$

$z$ が虚軸に沿って $0$ に近づく場合、$x = 0$ なので、

$\lim_{y \to 0} \frac{iy}{|y|} = \begin{cases} i & \text{if } y > 0 \\ -i & \text{if } y < 0 \end{cases}$

したがって、この極限は存在しません (発散します)。

(3) $c_n = (\sqrt{5} - 2i)^n$ について:

$\sqrt{5} - 2i$ の絶対値は $|\sqrt{5} - 2i| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-2)^2} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$ です。

したがって、$|c_n| = |(\sqrt{5} - 2i)^n| = |\sqrt{5} - 2i|^n = 3^n$

$n \to \infty$ のとき、$3^n \to \infty$ となるので、数列 $c_n$ は発散します。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 発散

(3) 発散