$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$ を求めよ。ここで $\log$ は自然対数とする。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$ を求めよ。ここで $\log$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

この極限は、ロピタルの定理を使うか、もしくは $\log(1+x)$ のマクローリン展開を用いることで求めることができる。

**方法1: ロピタルの定理を用いる**

$x \to 0$ のとき、$\log(1+x) \to \log(1) = 0$ および $x \to 0$ であるため、$\frac{0}{0}$ の不定形である。したがって、ロピタルの定理を適用できる。分子と分母をそれぞれ $x$ で微分する。

分子の微分:

$\frac{d}{dx} \log(1+x) = \frac{1}{1+x}$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{1}{1+x} \to \frac{1}{1+0} = 1$

**方法2: マクローリン展開を用いる**

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は次の通りである。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

したがって、

$\frac{\log(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots$

$x \to 0$ のとき、$1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots \to 1$

3. 最終的な答え

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