関数 $f(x) = x^2 - 2x + 4$ と $g(x) = (x-2)f(x)$ が与えられている。 (1) $f(x)$ の $x=2$ から $x=2+t$ ($t \neq 0$) までの平均変化率を $t$ の式で表し、$x=2$ における微分係数を求める。 (2) $f(x)$ の $x=p$ から $x=q$ ($p < q$) までの平均変化率が、$x=r$ における微分係数に等しいとき、$p, q, r$ の間に成り立つ関係式を求める。 (3) 曲線 $y=g(x)$ の $x=2$ における接線の方程式を求める。 (4) 曲線 $y=g(x)$ と直線 $l$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2x + 4$ と $g(x) = (x-2)f(x)$ が与えられている。

(1) $f(x)$ の $x=2$ から $x=2+t$ ($t \neq 0$) までの平均変化率を $t$ の式で表し、$x=2$ における微分係数を求める。

(2) $f(x)$ の $x=p$ から $x=q$ ($p < q$) までの平均変化率が、$x=r$ における微分係数に等しいとき、$p, q, r$ の間に成り立つ関係式を求める。

(3) 曲線 $y=g(x)$ の $x=2$ における接線の方程式を求める。

(4) 曲線 $y=g(x)$ と直線 $l$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

平均変化率は $\frac{f(2+t) - f(2)}{(2+t) - 2} = \frac{f(2+t) - f(2)}{t}$ で求められる。

$f(2+t) = (2+t)^2 - 2(2+t) + 4 = 4 + 4t + t^2 - 4 - 2t + 4 = t^2 + 2t + 4$

$f(2) = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 - 4 + 4 = 4$

平均変化率は $\frac{(t^2 + 2t + 4) - 4}{t} = \frac{t^2 + 2t}{t} = t + 2$。

微分係数は $f'(x) = 2x - 2$ より $f'(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$。

(2)

$f(x)$ の $x=p$ から $x=q$ までの平均変化率は $\frac{f(q) - f(p)}{q-p} = \frac{(q^2 - 2q + 4) - (p^2 - 2p + 4)}{q-p} = \frac{q^2 - p^2 - 2q + 2p}{q-p} = \frac{(q-p)(q+p) - 2(q-p)}{q-p} = q + p - 2$。

$f(x)$ の $x=r$ における微分係数は $f'(r) = 2r - 2$。

平均変化率と微分係数が等しいので、 $q + p - 2 = 2r - 2$ より $q + p = 2r$。

(3)

$g(x) = (x-2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 - 2x^2 + 4x - 2x^2 + 4x - 8 = x^3 - 4x^2 + 8x - 8$

$g'(x) = 3x^2 - 8x + 8$

$g'(2) = 3(2^2) - 8(2) + 8 = 12 - 16 + 8 = 4$

$g(2) = 2^3 - 4(2^2) + 8(2) - 8 = 8 - 16 + 16 - 8 = 0$

$x=2$ における接線の方程式は $y - g(2) = g'(2)(x - 2)$ より $y - 0 = 4(x - 2)$ なので $y = 4x - 8$。

(4)

問題文に直線 $l$ の情報がないので、解くことができません。

ただし、直線 $l$ が(3)で求めた接線$y=4x-8$であると仮定すると、

$g(x)$と直線$l$で囲まれた図形は存在しません。なぜなら、直線$y=4x-8$は$y=g(x)$の$x=2$における接線だからです。

3. 最終的な答え

(1) 平均変化率: $t + 2$、微分係数: $2$

(2) 関係式: $p + q = 2r$

(3) 接線の方程式: $y = 4x - 8$

(4) (直線 $l$ の情報がないため、解答できません。直線 $l$ が(3)で求めた接線$y=4x-8$であると仮定すると、囲まれた面積は0です。)