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(4) $0 \le \theta < 2\pi$ とする。 不等式 $\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ の解を求め、不等式 $2\sin^2 \theta + 5\cos \theta < 4$ の解を求めよ。 また、方程式 $\cos 2\theta + \cos \theta + 1 = 0$ の解を小さい順に求めよ。

解析学三角関数三角不等式三角方程式
2025/6/3
以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(4) 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi とする。
不等式 sin⁡θ≥22\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2} の解を求め、不等式 2sin⁡2θ+5cos⁡θ<42\sin^2 \theta + 5\cos \theta < 4 の解を求めよ。
また、方程式 cos⁡2θ+cos⁡θ+1=0\cos 2\theta + \cos \theta + 1 = 0 の解を小さい順に求めよ。

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ≥22\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2} の解を求める。
単位円上で y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2} となる θ\theta は π4\frac{\pi}{4} と 3π4\frac{3\pi}{4}。
sin⁡θ≥22\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2} を満たすのは π4≤θ≤3π4\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}。
(2) 2sin⁡2θ+5cos⁡θ<42\sin^2 \theta + 5\cos \theta < 4 の解を求める。
sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta より、
2(1−cos⁡2θ)+5cos⁡θ<42(1-\cos^2 \theta) + 5\cos \theta < 4
2−2cos⁡2θ+5cos⁡θ<42 - 2\cos^2 \theta + 5\cos \theta < 4
0<2cos⁡2θ−5cos⁡θ+20 < 2\cos^2 \theta - 5\cos \theta + 2
2cos⁡2θ−5cos⁡θ+2>02\cos^2 \theta - 5\cos \theta + 2 > 0
(2cos⁡θ−1)(cos⁡θ−2)>0(2\cos \theta - 1)(\cos \theta - 2) > 0
ここで、−1≤cos⁡θ≤1-1 \le \cos \theta \le 1 なので、cos⁡θ−2<0\cos \theta - 2 < 0。
したがって、2cos⁡θ−1<02\cos \theta - 1 < 0。
cos⁡θ<12\cos \theta < \frac{1}{2}。
単位円上で x=12x = \frac{1}{2} となる θ\theta は π3\frac{\pi}{3} と 5π3\frac{5\pi}{3}。
cos⁡θ<12\cos \theta < \frac{1}{2} を満たすのは 0≤θ<π30 \le \theta < \frac{\pi}{3} または 5π3<θ<2π\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi。
(3) cos⁡2θ+cos⁡θ+1=0\cos 2\theta + \cos \theta + 1 = 0 の解を求める。
cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 より、
2cos⁡2θ−1+cos⁡θ+1=02\cos^2 \theta - 1 + \cos \theta + 1 = 0
2cos⁡2θ+cos⁡θ=02\cos^2 \theta + \cos \theta = 0
cos⁡θ(2cos⁡θ+1)=0\cos \theta (2\cos \theta + 1) = 0
cos⁡θ=0\cos \theta = 0 または cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{2}
cos⁡θ=0\cos \theta = 0 のとき、θ=π2,3π2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}。
cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{2} のとき、θ=2π3,4π3\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}。
したがって、θ=π2,2π3,4π3,3π2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}。

3. 最終的な答え

sin⁡θ≥22\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2} の解: π4≤θ≤3π4\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}
2sin⁡2θ+5cos⁡θ<42\sin^2 \theta + 5\cos \theta < 4 の解: 0≤θ<π30 \le \theta < \frac{\pi}{3}, 5π3<θ<2π\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi
cos⁡2θ+cos⁡θ+1=0\cos 2\theta + \cos \theta + 1 = 0 の解: π2,2π3,4π3,3π2\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}

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