次の極限値を求める問題です。 1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

2. $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$

4. $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}$

5. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{\sin x}$

2. 解き方の手順

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$ の場合:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

2. $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ の場合:

これは自然対数の底 $e$ の定義そのものです。

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ の場合:

分子に $1 + \cos x$ を掛けて、$\sin^2 x$ を作ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 \cdot \frac{0}{1 + 1} = 0$

4. $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}$ の場合:

$y = 2x$ と置くと、$x = \frac{y}{2}$ となります。$x \to 0$ のとき $y \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{y \to 0} (1+y)^{\frac{2}{y}} = \lim_{y \to 0} [(1+y)^{\frac{1}{y}}]^2 = e^2$

5. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{\sin x}$ の場合:

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

1. 2

2. e

3. 0

4. $e^2$

5. 1