問題(12)では、関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を $x=0$ において、多項式 $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + o(x^4)$ によって近似するとき、$a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ を求めることを要求しています。 問題(13)では、問題(12)の結果を利用して、関数 $f(x) = \frac{x}{1-x}$ を $o(x^6)$ までマクローリン展開することを要求しています。

1. 問題の内容

問題(12)では、関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を $x=0$ において、多項式 $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + o(x^4)$ によって近似するとき、$a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ を求めることを要求しています。

問題(13)では、問題(12)の結果を利用して、関数 $f(x) = \frac{x}{1-x}$ を $o(x^6)$ までマクローリン展開することを要求しています。

2. 解き方の手順

問題(12)について

$f(x) = \frac{1}{1-x}$ の $x=0$ におけるマクローリン展開を考えます。

$f(x)$ の $n$ 階微分を $f^{(n)}(x)$ とすると、

$f(0) = 1$

$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$ より $f'(0) = 1$

$f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3}$ より $f''(0) = 2$

$f'''(x) = \frac{6}{(1-x)^4}$ より $f'''(0) = 6$

$f^{(4)}(x) = \frac{24}{(1-x)^5}$ より $f^{(4)}(0) = 24$

したがって、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + o(x^4)$

$= 1 + x + \frac{2}{2}x^2 + \frac{6}{6}x^3 + \frac{24}{24}x^4 + o(x^4)$

$= 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + o(x^4)$

よって、$a_0 = 1$, $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_3 = 1$, $a_4 = 1$

問題(13)について

$f(x) = \frac{x}{1-x} = x \cdot \frac{1}{1-x}$

問題(12)の結果を利用すると、

$f(x) = x(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + o(x^4)) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + o(x^5)$

$f(x) = x+x^2+x^3+x^4+x^5+o(x^5)$

$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開は $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ であるから、

$\frac{x}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1}$

$\frac{x}{1-x}$を $o(x^6)$ までマクローリン展開すると、

$x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + o(x^6)$

3. 最終的な答え

問題(12):

$a_0 = 1$, $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_3 = 1$, $a_4 = 1$

問題(13):

$x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + o(x^6)$