次の極限を求めよ。 $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n+1} + 3^n}{4^n + 2^{n+1}}$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n+1} + 3^n}{4^n + 2^{n+1}}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ $4^n$ で割る。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n+1} + 3^n}{4^n + 2^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 4^n + 3^n}{4^n + 2 \cdot 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 \cdot 4^n}{4^n} + \frac{3^n}{4^n}}{\frac{4^n}{4^n} + \frac{2 \cdot 2^n}{4^n}}$

= $\lim_{n \to \infty} \frac{2 + (\frac{3}{4})^n}{1 + 2(\frac{2}{4})^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + (\frac{3}{4})^n}{1 + 2(\frac{1}{2})^n}$

ここで、 $n \to \infty$ のとき $(\frac{3}{4})^n \to 0$ であり、$(\frac{1}{2})^n \to 0$ である。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 + (\frac{3}{4})^n}{1 + 2(\frac{1}{2})^n} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = \frac{2}{1} = 2$

3. 最終的な答え

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