画像には、異なるタイプの2階線形微分方程式が5つ含まれています。それぞれ初期条件が与えられているもの、特定の解法を使うように指定されているものがあります。 問題1: $y'' - 8y' + 25y = 0$, $y(0) = 2$, $y'(0) = -1$ 問題2: $y'' - 7y' + 12y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$ 問題3: $y'' - 10y' + 25y = 0$, $y(0) = -1$, $y'(0) = -2$ 問題4: $y'' + 4y = A\sin(2x)$ (定数変化法を使用) 問題5: $y'' - y = -30e^{2x}\sin(3x)$ (未定係数法を使用)

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には、異なるタイプの2階線形微分方程式が5つ含まれています。それぞれ初期条件が与えられているもの、特定の解法を使うように指定されているものがあります。

問題1: $y'' - 8y' + 25y = 0$, $y(0) = 2$, $y'(0) = -1$

問題2: $y'' - 7y' + 12y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$

問題3: $y'' - 10y' + 25y = 0$, $y(0) = -1$, $y'(0) = -2$

問題4: $y'' + 4y = A\sin(2x)$ (定数変化法を使用)

問題5: $y'' - y = -30e^{2x}\sin(3x)$ (未定係数法を使用)

2. 解き方の手順

問題1: $y'' - 8y' + 25y = 0$, $y(0) = 2$, $y'(0) = -1$

まず特性方程式を解きます：

$r^2 - 8r + 25 = 0$

$r = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(25)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64-100}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{8 \pm 6i}{2} = 4 \pm 3i$

したがって、一般解は

$y(x) = e^{4x}(c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x))$

初期条件を使って$c_1$と$c_2$を求めます。

$y(0) = e^{0}(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 = 2$

$y'(x) = 4e^{4x}(c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x)) + e^{4x}(-3c_1 \sin(3x) + 3c_2 \cos(3x))$

$y'(0) = 4(2) + 3c_2 = -1$, $3c_2 = -9$, $c_2 = -3$

よって、解は $y(x) = e^{4x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))$

問題2: $y'' - 7y' + 12y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$

特性方程式は、$r^2 - 7r + 12 = 0$

$(r - 3)(r - 4) = 0$

$r = 3, 4$

一般解は、$y(x) = c_1 e^{3x} + c_2 e^{4x}$

$y(0) = c_1 + c_2 = 1$

$y'(x) = 3c_1 e^{3x} + 4c_2 e^{4x}$

$y'(0) = 3c_1 + 4c_2 = 1$

$3c_1 + 3c_2 = 3$

$c_2 = -2$

$c_1 = 3$

よって、解は、$y(x) = 3e^{3x} - 2e^{4x}$

問題3: $y'' - 10y' + 25y = 0$, $y(0) = -1$, $y'(0) = -2$

特性方程式は、$r^2 - 10r + 25 = 0$

$(r - 5)^2 = 0$

$r = 5$ (重根)

一般解は、$y(x) = c_1 e^{5x} + c_2 x e^{5x}$

$y(0) = c_1 = -1$

$y'(x) = 5c_1 e^{5x} + c_2 e^{5x} + 5c_2 x e^{5x}$

$y'(0) = 5c_1 + c_2 = -2$

$-5 + c_2 = -2$, $c_2 = 3$

よって、解は、$y(x) = -e^{5x} + 3xe^{5x}$

問題4: $y'' + 4y = A\sin(2x)$ (定数変化法)

まず、同次方程式 $y'' + 4y = 0$ の解を求めます。

特性方程式は $r^2 + 4 = 0$

$r = \pm 2i$

同次方程式の一般解は $y_h(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x)$

定数変化法を用いて、特殊解を $y_p(x) = u_1(x)\cos(2x) + u_2(x)\sin(2x)$ と仮定します。

$u_1'(x)\cos(2x) + u_2'(x)\sin(2x) = 0$

$-2u_1'(x)\sin(2x) + 2u_2'(x)\cos(2x) = A\sin(2x)$

これから $u_1'(x)$ と $u_2'(x)$ を求めます。

$u_1'(x) = -\frac{A}{2}\sin(2x)\sin(2x) = -\frac{A}{2}\sin^2(2x)$

$u_2'(x) = \frac{A}{2}\sin(2x)\cos(2x)$

$u_1(x) = -\frac{A}{2} \int \sin^2(2x) dx = -\frac{A}{2} \int \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx = -\frac{A}{4}(x - \frac{1}{4}\sin(4x))$

$u_2(x) = \frac{A}{2} \int \sin(2x)\cos(2x) dx = \frac{A}{2} \int \frac{1}{2}\sin(4x) dx = -\frac{A}{16}\cos(4x)$

特殊解は、$y_p(x) = -\frac{A}{4}(x - \frac{1}{4}\sin(4x))\cos(2x) - \frac{A}{16}\cos(4x)\sin(2x)$

$y_p(x) = -\frac{Ax}{4}\cos(2x) + \frac{A}{16}\sin(4x)\cos(2x) - \frac{A}{16}\cos(4x)\sin(2x) = -\frac{Ax}{4}\cos(2x)$

一般解は、$y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) - \frac{Ax}{4}\cos(2x)$

問題5: $y'' - y = -30e^{2x}\sin(3x)$ (未定係数法)

まず、同次方程式 $y'' - y = 0$ の解を求めます。

特性方程式は $r^2 - 1 = 0$

$r = \pm 1$

同次方程式の一般解は $y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$

未定係数法を用いて、特殊解を $y_p(x) = e^{2x}(A\cos(3x) + B\sin(3x))$ と仮定します。

$y_p'(x) = e^{2x}(2A\cos(3x) + 2B\sin(3x) - 3A\sin(3x) + 3B\cos(3x))$

$y_p''(x) = e^{2x}((4A-9A+12B-4B)\cos(3x)+(4B-9B-12A+4A)\sin(3x))=e^{2x}((-5A+12B)\cos(3x)+(-5B-12A)\sin(3x))$

$y_p'' - y_p = -30e^{2x}\sin(3x)$

$e^{2x}((-5A+12B-A)\cos(3x)+(-5B-12A-B)\sin(3x))=e^{2x}((-6A+12B)\cos(3x)+(-6B-12A)\sin(3x))=-30e^{2x}\sin(3x)$

$-6A + 12B = 0$

$-12A - 6B = -30$

$A = 2B$

$-24B - 6B = -30$

$-30B = -30$

$B = 1$

$A = 2$

したがって、$y_p(x) = e^{2x}(2\cos(3x) + \sin(3x))$

一般解は、$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + e^{2x}(2\cos(3x) + \sin(3x))$

3. 最終的な答え

問題1: $y(x) = e^{4x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))$

問題2: $y(x) = 3e^{3x} - 2e^{4x}$

問題3: $y(x) = -e^{5x} + 3xe^{5x}$

問題4: $y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) - \frac{Ax}{4}\cos(2x)$

問題5: $y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + e^{2x}(2\cos(3x) + \sin(3x))$