与えられた数列の $n$ が無限大に近づくときの極限を求める問題です。 数列は $\frac{4^{n+1} - (-3)^n}{2^{2n}}$ で定義されています。

1. 問題の内容

与えられた数列の $n$ が無限大に近づくときの極限を求める問題です。

数列は $\frac{4^{n+1} - (-3)^n}{2^{2n}}$ で定義されています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$2^{2n} = (2^2)^n = 4^n$ であることを利用します。

与えられた式は次のように変形できます。

$\frac{4^{n+1} - (-3)^n}{2^{2n}} = \frac{4^{n+1} - (-3)^n}{4^n}$

次に、各項を $4^n$ で割ります。

$\frac{4^{n+1}}{4^n} - \frac{(-3)^n}{4^n} = \frac{4 \cdot 4^n}{4^n} - \left( \frac{-3}{4} \right)^n = 4 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n$

$n \to \infty$ のとき、$\left| -\frac{3}{4} \right| < 1$ なので、$\left( -\frac{3}{4} \right)^n \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \left( 4 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n \right) = 4 - 0 = 4$

3. 最終的な答え

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