次の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$ (4) $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{2}{x}$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

(4) $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{2}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{3x}{2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \frac{1}{1} = 1$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

$y = \sin^{-1} x$ と置くと、$x = \sin y$ であり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ となる。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\sin y}{y}}$

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = \frac{1}{1} = 1$

(4) $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{2}{x}$

$-1 \le \sin \frac{2}{x} \le 1$

$-|x| \le x \sin \frac{2}{x} \le |x|$

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$

$\lim_{x \to 0} |x| = 0$

挟み撃ちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{2}{x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $1$

(3) $1$

(4) $0$