関数 $y = \frac{6 - 3^x}{4x - 8}$ のグラフの漸近線をすべて求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{6 - 3^x}{4x - 8}$ のグラフの漸近線をすべて求めます。

2. 解き方の手順

まず、垂直漸近線を求めます。垂直漸近線は、分母が0になる $x$ の値で発生する可能性があります。

$4x - 8 = 0$ を解くと、$x = 2$ となります。

$x = 2$ の近くで関数の挙動を調べるために、極限を計算します。

$\lim_{x \to 2^+} \frac{6 - 3^x}{4x - 8}$

$x$ が2より少し大きい場合、$3^x$ は9より少し大きくなり、$6 - 3^x$ は負の数になります。

$4x - 8$ は正の数です。したがって、極限は$-\infty$ です。

$\lim_{x \to 2^+} \frac{6 - 3^x}{4x - 8} = -\infty$

$\lim_{x \to 2^-} \frac{6 - 3^x}{4x - 8}$

$x$ が2より少し小さい場合、$3^x$ は9より少し小さくなり、$6 - 3^x$ は負の数になります。

$4x - 8$ は負の数です。したがって、極限は$\infty$ です。

$\lim_{x \to 2^-} \frac{6 - 3^x}{4x - 8} = \infty$

したがって、$x = 2$ は垂直漸近線です。

次に、水平漸近線を求めます。水平漸近線を求めるには、$x$ が $\infty$ および $-\infty$ に近づくときの関数の極限を調べます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 - 3^x}{4x - 8}$

$x$ が大きくなると、$3^x$ は急速に大きくなります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 - 3^x}{4x - 8} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3^x}{4x}$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形です。

$3^x$ の増加速度は $4x$ よりも速いので、この極限は $-\infty$ になります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 - 3^x}{4x - 8} = -\infty$

したがって、右側の水平漸近線はありません。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{6 - 3^x}{4x - 8}$

$x$ が $-\infty$ に近づくと、$3^x$ は0に近づきます。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{6 - 3^x}{4x - 8} = \lim_{x \to -\infty} \frac{6}{4x} = 0$

したがって、$y = 0$ は水平漸近線です。

3. 最終的な答え

漸近線は $x = 2$ と $y = 0$ です。