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$\lim_{x \to \infty} \arctan^{-1} x$ を計算する問題です。

解析学極限逆三角関数arctan関数の極限
2025/6/1

1. 問題の内容

lim⁡x→∞arctan⁡−1x\lim_{x \to \infty} \arctan^{-1} x を計算する問題です。

2. 解き方の手順

arctan⁡x\arctan x は、xx が −∞-\infty から ∞\infty まで変化するとき、−π2-\frac{\pi}{2} から π2\frac{\pi}{2} までの値を取ります。
xx が ∞\infty に近づくとき、arctan⁡x\arctan x は π2\frac{\pi}{2} に近づきます。
したがって、
lim⁡x→∞arctan⁡x=π2\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}
よって、
lim⁡x→∞arctan⁡−1x=lim⁡x→∞1arctan⁡x=1lim⁡x→∞arctan⁡x=1π2=2π\lim_{x \to \infty} \arctan^{-1} x = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\arctan x} = \frac{1}{\lim_{x \to \infty} \arctan x} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}

3. 最終的な答え

2π\frac{2}{\pi}

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