与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の2つの不定積分を求める必要があります。 (1) $\int 3x^2 (x^3 + 2)^5 dx$ (2) $\int x^3 e^{x^4} dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の2つの不定積分を求める必要があります。

(1) $\int 3x^2 (x^3 + 2)^5 dx$

(2) $\int x^3 e^{x^4} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 3x^2 (x^3 + 2)^5 dx$ について

置換積分を用います。$u = x^3 + 2$ とおくと、$du = 3x^2 dx$ となります。したがって、

$\int 3x^2 (x^3 + 2)^5 dx = \int u^5 du$

$= \frac{1}{6} u^6 + C$

$= \frac{1}{6} (x^3 + 2)^6 + C$

(2) $\int x^3 e^{x^4} dx$ について

置換積分を用います。$u = x^4$ とおくと、$du = 4x^3 dx$ となります。したがって、$x^3 dx = \frac{1}{4} du$ となります。

$\int x^3 e^{x^4} dx = \int e^u \frac{1}{4} du$

$= \frac{1}{4} \int e^u du$

$= \frac{1}{4} e^u + C$

$= \frac{1}{4} e^{x^4} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int 3x^2 (x^3 + 2)^5 dx = \frac{1}{6} (x^3 + 2)^6 + C$

(2) $\int x^3 e^{x^4} dx = \frac{1}{4} e^{x^4} + C$