関数 $f(x) = x + \frac{1}{x}$ の極値、凹凸、漸近線を調べ、そのグラフの概形を描いてください。

はい、承知いたしました。問題文に示されている関数の一つについて、極値、凹凸、漸近線を調べ、グラフの概形を描く問題に取り組みます。ここでは、(3) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ の関数について解析します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \frac{1}{x}$ の極値、凹凸、漸近線を調べ、そのグラフの概形を描いてください。

2. 解き方の手順

(1) 定義域：

$f(x) = x + \frac{1}{x}$ は $x \neq 0$ で定義されます。

(2) 導関数と極値：

まず、一階導関数を求めます。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 - \frac{1}{x^2} = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

次に、二階導関数を求めます。

$f''(x) = \frac{2}{x^3}$

$x = 1$ のとき、$f''(1) = 2 > 0$ なので、$x = 1$ で極小値をとります。

極小値は $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$

$x = -1$ のとき、$f''(-1) = -2 < 0$ なので、$x = -1$ で極大値をとります。

極大値は $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$

(3) 凹凸：

$f''(x) = \frac{2}{x^3}$ なので、$f''(x) > 0$ となるのは $x > 0$ のとき、$f''(x) < 0$ となるのは $x < 0$ のときです。

したがって、$x > 0$ で下に凸、$x < 0$ で上に凸となります。変曲点はありません。

(4) 漸近線：

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to -\infty$

$x \to 0^+$ のとき、$f(x) \to \infty$

$x \to 0^-$ のとき、$f(x) \to -\infty$

$x=0$ は垂直漸近線です。

また、$x \to \infty$ のとき、$f(x) - x = \frac{1}{x} \to 0$ となるので、$y = x$ は斜め漸近線です。

同様に、$x \to -\infty$ のときも、$y = x$ は斜め漸近線です。

(5) グラフの概形：

以上の情報を基にグラフを描きます。

- $x=0$ に垂直漸近線

- $y=x$ に斜め漸近線

- $x=1$ で極小値2

- $x=-1$ で極大値-2

- $x>0$ で下に凸

- $x<0$ で上に凸

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = x + \frac{1}{x}$ について:

- 極大値：$x = -1$ で $f(-1) = -2$

- 極小値：$x = 1$ で $f(1) = 2$

- 凹凸：$x > 0$ で下に凸、$x < 0$ で上に凸

- 漸近線：$x = 0$ （垂直漸近線）、$y = x$ （斜め漸近線）

グラフの概形は上記の特徴を持つ曲線となります。